Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 90^\circ$ y $AB > AC$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ hasta $BC$ , $M$ el punto medio de $BC$ y $A'$ el reflejo de $A$ sobre $D$ . Sea la mediatriz de $DM$ intersectar las líneas $AB$ y $A'C$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Sea $K$ la intersección de las líneas $A'C$ y $AB$ . Demostrar que $PQ$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $QDK$ .

Sea $n$ un entero positivo. Ana y Beto juegan un juego en un tablero de $2 \times n$ (con 2 filas y $n$ columnas). Primero, Ana escribe un dígito del 1 al 9 en cada celda del tablero de tal manera que en cada columna los dos dígitos escritos sean diferentes. Luego, Beto borra un dígito de cada columna. Leyendo de izquierda a derecha, se forma un número con $n$ dígitos. Beto gana si este número es múltiplo de $n$ ; de lo contrario, Ana gana. Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora en los siguientes casos:\n$\bullet$ (a) $n = 1001$ .\n$\bullet$ (b) $n = 1003$ .

Sea $N$ un entero positivo. Se dice que una secuencia no decreciente $a_1 \le a_2 \le \dots$ de enteros positivos es $N$ - rioplatense si existe un índice $i$ tal que $N = \frac{i}{a_i}$ . Demostrar que toda secuencia $2024$ - rioplatense es $k$ - rioplatense para $k=1, 2, 3, \dots, 2023$ .

Sean $a$ , $b$ , $c$ enteros positivos. Demostrar que para infinitos enteros impares positivos $n$ , existe un entero $m > n$ tal que $a^n + b^n + c^n$ divide a $a^m + b^m + c^m$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ , incentro $I$ , y circunferencia circunscrita $\omega$ . Sea $D$ la intersección de la bisectriz externa del ángulo $\widehat{ BAC}$ con la línea $BC$ . Sea $E$ el punto medio del arco $BC$ de $\omega$ que no contiene a $A$ . Sea $M$ el punto medio de $DI$ , y $X$ la intersección de $EM$ con $\omega$ . Demostrar que $IX$ y $EM$ son perpendiculares.

Ana dibuja un tablero de ajedrez que tiene al menos 20 filas y al menos 24 columnas. Luego, Beto debe cubrir completamente ese tablero, sin huecos ni superposiciones, usando solo piezas de los siguientes dos tipos:\nCada pieza debe cubrir exactamente 4 o 3 casillas del tablero, como se muestra en la figura, sin salir del tablero. Se permite rotar las piezas y no es necesario utilizar todos los tipos de piezas. Explique por qué, independientemente de cuántas filas y cuántas columnas tenga el tablero de Ana, Beto siempre puede completar su tarea.

Sea $G$ el centroide del triángulo $ABC$. Encuentre el $\alpha$ más grande tal que existe un triángulo para el cual hay al menos tres ángulos entre $\angle GAB, \angle GAC, \angle GBA, \angle GBC, \angle GCA, \angle GCB$ que son $\geq \alpha$.

Tenemos una tabla de $m\times n$ cubierta con franjas de $3\times 1$ y se nos da que $6 | mn$. Demuestre que existe una teselación de la tabla con dominós de $2\times 1$ tal que cada una de estas franjas contiene un dominó entero.

Se dan diez números reales positivos distintos y se escribe la suma de cada par (entonces 45 sumas). Entre estas sumas hay 5 números iguales. Si calculamos el producto de cada par, encuentre el número más grande $k$ tal que puede haber $k$ números iguales entre ellos.

El entero positivo $d$ no es un cuadrado perfecto. Para cada entero positivo $n$, sea $s(n)$ el número de dígitos $1$ entre los primeros $n$ dígitos en la representación binaria de $\sqrt{d}$ (incluyendo los dígitos antes del punto). Demuestre que existe un entero $A$ tal que $s(n)>\sqrt{2n}-2$ para todos los enteros $n\ge A$.