La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 30 de oct. de 2010, 4:17 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Los números enteros del $1$ al $1000$ están ubicados en la circunferencia de un círculo en orden natural. Comenzando con el $1$, cada decimoquinto número (es decir, $1, 16, 31, \cdots$) es marcado. El marcado continúa hasta que se alcanza un número ya marcado. ¿Cuántos de los números quedarán sin marcar? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 30 de oct. de 2010, 12:43 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Para dos triángulos dados $A_1A_2A_3$ y $B_1B_2B_3$ con áreas $\Delta_A$ y $\Delta_B$, respectivamente, $A_iA_k \ge B_iB_k, i, k = 1, 2, 3$. Demuestre que $\Delta_A \ge \Delta_B$ si el triángulo $A_1A_2A_3$ no es obtusángulo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 13 de oct. de 2010, 11:30 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que para cualquier triángulo $ABC$ existe un punto P en el plano del triángulo y tres puntos $A'$, $B'$ y $C'$ en las rectas $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente, tales que \[AB \cdot PC'= AC \cdot PB'= BC \cdot PA'= 0.3M^2,\] donde $M = max\{AB,AC,BC\}$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. limac 638 publicaciones limac #1 h 28 de julio de 2010, 6:17 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El conjunto $M = \{1, 2, . . . , 2n\}$ está particionado en $k$ subconjuntos disjuntos $M_1,M_2, \dots, M_k,$ donde $n \ge k^3 + k.$ Demuestre que existen números pares $2j_1, 2j_2, \dots, 2j_{k+1}$ en $M$ que están en uno y el mismo subconjunto $M_i$ $(1 \le i \le k)$ tales que los números $2j_1 - 1, 2j_2 - 1, \dots, 2j_{k+1} - 1$ también están en uno y el mismo subconjunto $M_j (1 \le j \le k).$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 1:39 p. m. • 4 Y Y por Adventure10, EthanTAoPS, Grumpah, Mango247 Sean $ m$ y $ n$ enteros positivos tales que $ 1 \le m < n$ . En sus representaciones decimales, los últimos tres dígitos de $ 1978^m$ son iguales, respectivamente, a los últimos tres dígitos de $ 1978^n$ . Encuentre $ m$ y $ n$ tales que $ m + n$ tenga su valor mínimo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 16 de oct. de 2010, 12:59 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre todos los números $\alpha$ para los cuales la ecuación \[x^2 - 2x[x] + x -\alpha = 0\] tiene dos raíces no negativas. ($[x]$ denota el mayor entero menor o igual a x.) Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 13 de oct. de 2010, 11:25 p. m. • 3 Y Y por donotoven, Adventure10, Mango247 Si \[f(x) = (x + 2x^2 +\cdots+ nx^n)^2 = a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots+ a_{2n}x^{2n},\] demuestre que \[a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{2n} =\dbinom{n + 1}{2}\frac{5n^2 + 5n + 2}{12}\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 7 de abril de 2006, 10:47 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sea $P$ un punto en el lado $AC$ y $Q$ un punto en el lado $AB$ de tal manera que ambos triángulos $ABP$ y $ACQ$ sean acutángulos. Sea $R$ el ortocentro del triángulo $ABP$ y $S$ el ortocentro del triángulo $ACQ$. Sea $T$ el punto común a los segmentos $BP$ y $CQ$. Encuentre todos los valores posibles de $\angle CBP$ y $\angle BCQ$ tales que el triángulo $TRS$ sea equilátero. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 30 de oct. de 2010, 12:40 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Demuestre que para todo $X > 1$, existe un triángulo cuyos lados tienen longitudes $P_1(X) = X^4+X^3+2X^2+X+1$, $P_2(X) = 2X^3+X^2+2X+1$ y $P_3(X) = X^4-1$. Demuestre que todos estos triángulos tienen el mismo ángulo mayor y calcúlelo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 20 de oct. de 2010, 11:17 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $p(x, y)$ y $q(x, y)$ polinomios en dos variables tales que para $x \ge 0, y \ge 0$ se cumplen las siguientes condiciones: $(i) p(x, y)$ y $q(x, y)$ son funciones crecientes de $x$ para todo $y$ fijo. $(ii) p(x, y)$ es una función creciente y $q(x, y)$ es una función decreciente de $y$ para todo $x$ fijo. $(iii) p(x, 0) = q(x, 0)$ para todo $x$ y $p(0, 0) = 0$. Demuestre que el sistema de ecuaciones $p(x, y) = a, q(x, y) = b$ tiene una solución única en el conjunto $x \ge 0, y \ge 0$ para todo $a, b$ que satisfaga $0 \le b \le a$, pero que no tiene solución en el mismo conjunto si $a < b$. Z K Y