Sea $M$ un subconjunto de $\{1,2,..., 1998\}$ con $1000$ elementos. Demuestra que siempre es posible encontrar dos elementos $a$ y $b$ en $M$ , no necesariamente distintos, tales que $a + b$ es una potencia de $2$ .

Sea $X$ un conjunto finito de enteros positivos. Demuestra que para cada subconjunto $A$ de $X$ , existe un subconjunto $B$ de $X$ , con la siguiente propiedad: Para cada elemento $ e$ de $X$ , $e$ divide a un número impar de elementos de $B$ , si y solo si $e$ es un elemento de $A$ .

Dado un entero $n > 2$ , considera todas las sucesiones $x_1,x_2,...,x_n$ de números reales no negativos tales que $$x_1+ 2x_2 + ... + nx_n = 1.$$ Encuentra el valor máximo y el valor mínimo de $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2$ y determina todas las sucesiones $x_1,x_2,...,x_n$ para las cuales se obtienen estos valores.

Considera un arco $AB$ de una circunferencia $C$ y un punto $P$ variable en ese arco $AB$ . Sea $D$ el punto medio del arco $AP$ que no contiene a $B$ y sea $E$ el punto medio del arco $BP$ que no contiene a $A$ . Sea $C_1$ la circunferencia con centro $D$ que pasa por $A$ y $C_2$ la circunferencia con centro $E$ que pasa por $B.$ Demuestra que la recta que contiene los puntos de intersección de $C_1$ y $C_2$ pasa por un punto fijo.

Sea $P(x)$ un polinomio no constante de grado $n$ con coeficientes racionales que no puede ser presentado como un producto de dos polinomios no constantes con coeficientes racionales. Demuestra que el número de polinomios $Q(x)$ de grado menor que $n$ con coeficientes racionales tales que $P(x)$ divide a $P(Q(x))$ a) es finito b) no excede $n$ .

En una fiesta con $99$ invitados, los anfitriones Ann y Bob juegan un juego (los anfitriones no se consideran invitados). Hay $99$ sillas dispuestas en un círculo; inicialmente, todos los invitados están de pie alrededor de esas sillas. Los anfitriones se turnan alternativamente. En un turno, un anfitrión ordena a cualquier invitado de pie que se siente en una silla desocupada $c$ . Si alguna silla adyacente a $c$ ya está ocupada, el mismo anfitrión ordena a un invitado en tal silla que se levante (si ambas sillas adyacentes a $c$ están ocupadas, el anfitrión elige exactamente una de ellas). Todas las órdenes se llevan a cabo inmediatamente. Ann hace el primer movimiento; su objetivo es cumplir, después de algún movimiento suyo, que al menos $k$ sillas estén ocupadas. Determina el mayor $k$ para el cual Ann puede alcanzar el objetivo, independientemente del juego de Bob.

Sea el incírculo del triángulo $ABC$ , y 3 círculos inscritos entre el incírculo y los ángulos de $ABC$ . Sean $r, r_1, r_2, r_3$ los radios de estos círculos ( $r_1, r_2, r_3 < r$ ) . Demuestra que $$r_1+r_2+r_3 \geq r$$

Sea $n\ge 2$ un entero. A Elwyn se le da una tabla de $n\times n$ llena de números reales (cada celda de la tabla contiene exactamente un número). Definimos un conjunto de torres como un conjunto de $n$ celdas de la tabla situadas en $n$ filas distintas, así como en n columnas distintas. Asume que, para cada conjunto de torres, la suma de $n$ números en las celdas que forman el conjunto es no negativa. Mediante un movimiento, Elwyn elige una fila, una columna y un número real $a,$ y luego añade $a$ a cada número de la fila elegida, y resta $a$ de cada número de la columna elegida (por lo tanto, el número en la intersección de la fila y la columna elegidas no cambia). Demuestra que Elwyn puede realizar una secuencia de movimientos de manera que todos los números de la tabla se vuelvan no negativos.

En un hexágono cíclico convexo $ABCDEF$ , $BC=EF$ y $CD=AF$ . Las diagonales $AC$ y $BF$ se intersecan en el punto $Q,$ y las diagonales $EC$ y $DF$ se intersecan en el punto $P.$ Los puntos $R$ y $S$ están marcados en los segmentos $DF$ y $BF$ respectivamente, de modo que $FR=PD$ y $BQ=FS.$ Los segmentos $RQ$ y $PS$ se intersecan en el punto $T.$ Demuestra que la línea $TC$ biseca la diagonal $DB$ .

Demuestra que existe un entero positivo $n$ , tal que el resto de $3^n$ cuando se divide por $2^n$ es mayor que $10^{2021} $ .