La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 1:57 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $T_1$ un triángulo que tiene a $a, b, c$ como longitudes de sus lados y sea $T_2$ otro triángulo que tiene a $u, v, w$ como longitudes de sus lados. Si $P, Q$ son las áreas de los dos triángulos, demuestre que \[16PQ \leq a^2(-u^2 + v^2 + w^2) + b^2(u^2 - v^2 + w^2) + c^2(u^2 + v^2 - w^2).\] ¿Cuándo se cumple la igualdad? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 30 de oct. de 2010, 12:43 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Para dos triángulos dados $A_1A_2A_3$ y $B_1B_2B_3$ con áreas $\Delta_A$ y $\Delta_B$, respectivamente, $A_iA_k \ge B_iB_k, i, k = 1, 2, 3$. Demuestre que $\Delta_A \ge \Delta_B$ si el triángulo $A_1A_2A_3$ no es obtusángulo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 28 de oct. de 2010, 7:56 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Los satélites $A$ y $B$ orbitan la Tierra en el plano ecuatorial a una altitud $h$. Están separados por una distancia $2r$, donde $r$ es el radio de la Tierra. ¿Para qué $h$ pueden ser vistos en direcciones mutuamente perpendiculares desde algún punto en el ecuador? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 13 de oct. de 2010, 11:25 p. m. • 3 Y Y por donotoven, Adventure10, Mango247 Si \[f(x) = (x + 2x^2 +\cdots+ nx^n)^2 = a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots+ a_{2n}x^{2n},\] demuestre que \[a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{2n} =\dbinom{n + 1}{2}\frac{5n^2 + 5n + 2}{12}\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 13 de oct. de 2010, 11:30 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que para cualquier triángulo $ABC$ existe un punto P en el plano del triángulo y tres puntos $A'$, $B'$ y $C'$ en las rectas $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente, tales que \[AB \cdot PC'= AC \cdot PB'= BC \cdot PA'= 0.3M^2,\] donde $M = max\{AB,AC,BC\}$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. David-Vieta 343 publicaciones David-Vieta #1 h 30 de dic. de 2022, 12:28 a. m. • 1 Y Y por Rounak_iitr Demuestre que existe $C>0$ , que satisface la siguiente conclusión: Para cualquier sucesión aritmética infinita de enteros positivos $a_1, a_2, a_3,\cdots$ , si el máximo común divisor de $a_1$ y $a_2$ es libre de cuadrados, entonces existe un entero positivo $m\le C\cdot {a_2}^2$ , tal que $a_m$ es libre de cuadrados. Nota: Un entero positivo $N$ es libre de cuadrados si no es divisible por ningún número cuadrado mayor que $1$ . Propuesto por Qu Zhenhua Esta publicación ha sido editada 5 veces. Última edición por David-Vieta, 5 de ene. de 2023, 1:40 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. limac 638 publicaciones limac #1 h 28 de julio de 2010, 6:17 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El conjunto $M = \{1, 2, . . . , 2n\}$ está particionado en $k$ subconjuntos disjuntos $M_1,M_2, \dots, M_k,$ donde $n \ge k^3 + k.$ Demuestre que existen números pares $2j_1, 2j_2, \dots, 2j_{k+1}$ en $M$ que están en uno y el mismo subconjunto $M_i$ $(1 \le i \le k)$ tales que los números $2j_1 - 1, 2j_2 - 1, \dots, 2j_{k+1} - 1$ también están en uno y el mismo subconjunto $M_j (1 \le j \le k).$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. David-Vieta 343 publicaciones David-Vieta #1 h 30 de dic. de 2022, 12:04 a. m. • 1 Y Y por Mango247 Encuentre el entero positivo mínimo $n\ge 3$ tal que existan $n$ puntos $A_1,A_2,\cdots, A_n$ que satisfagan que no hay tres puntos colineales y para todo $1\le i\le n$ , existe $1\le j \le n (j\neq i)$ tal que el segmento $A_jA_{j+1}$ pasa por el punto medio del segmento $A_iA_{i+1}$ , donde $A_{n+1}=A_1$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. David-Vieta 343 publicaciones David-Vieta #1 h 30 de dic. de 2022, 12:19 a. m. • 2 Y Y por GeoKing, Rounak_iitr Hay $n(n\ge 8)$ aeropuertos, algunos de los cuales tienen rutas directas de un solo sentido entre ellos. Para cualesquiera dos aeropuertos $a$ y $b$, hay a lo sumo una ruta directa de un solo sentido de $a$ a $b$ (puede haber rutas directas de un solo sentido tanto de $a$ a $b$ como de $b$ a $a$). Para cualquier conjunto $A$ compuesto por aeropuertos $(1\le | A| \le n-1)$, hay al menos $4\cdot \min \{|A|,n-|A| \}$ rutas directas de un solo sentido desde el aeropuerto en $A$ hacia el aeropuerto que no está en $A$. Demuestre que: Para cualquier aeropuerto $x$, podemos comenzar desde $x$ y regresar al aeropuerto en no más de $\sqrt{2n}$ rutas directas de un solo sentido. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por David-Vieta, 30 de dic. de 2022, 12:19 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 7 de abril de 2006, 10:47 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sea $P$ un punto en el lado $AC$ y $Q$ un punto en el lado $AB$ de tal manera que ambos triángulos $ABP$ y $ACQ$ sean acutángulos. Sea $R$ el ortocentro del triángulo $ABP$ y $S$ el ortocentro del triángulo $ACQ$. Sea $T$ el punto común a los segmentos $BP$ y $CQ$. Encuentre todos los valores posibles de $\angle CBP$ y $\angle BCQ$ tales que el triángulo $TRS$ sea equilátero. Z K Y