Demostrar que en el espacio hay una esfera que contiene exactamente $1994$ puntos con coordenadas enteras.

Demostrar que hay infinitos números naturales $a,b,c,u$ y $v$ con el máximo común divisor $1$ que satisfacen el sistema de ecuaciones: $a+b+c=u+v$ y $a^2+b^2+c^2=u^2+v^2$

En tres casas $A,B$ y $C$, formando un triángulo rectángulo con los catetos $AC=30$ y $CB=40$, viven tres escarabajos $a,b$ y $c$, capaces de moverse a velocidades de $2, 3$ y $4$, respectivamente. Suponga que libera simultáneamente estos errores desde el punto $M$ y marca el tiempo después de que los escarabajos lleguen a sus casas. Encuentre en el plano tal punto $M$, donde el último tiempo para llegar a la casa un error sería mínimo.

Encuentra el número natural más pequeño $n$ para el cual $sin \Big(\frac{1}{n+1934}\Big)<\frac{1}{1994}$.

Sea un poliedro convexo dado con volumen $V$ y superficie total $S$. Demostrar que dentro de un poliedro es posible colocar una bola de radio $\frac{V}{S}$.

El punto $M$ se encuentra dentro del triángulo $ABC$. Demostrar que para cualquier otro punto $N$ que se encuentre dentro del triángulo $ABC$, al menos una de las siguientes tres desigualdades se cumple: $AN>AM, BN>BM, CN>CM$.

Se considera el conjunto de números $M=\{4k-3 | k\in N\}$. Un número de este conjunto se llama 'simple' si es imposible ponerlo en la forma de un producto de números de $M$ distintos de $1$. Demostrar que en este conjunto, la descomposición de números en el producto de factores 'simples' es ambigua.

El Mundial de América introdujo un nuevo sistema de puntos. Por una victoria se dan $3$ puntos, por un empate $1$ punto y por una derrota $0$ puntos. En los juegos preliminares, los equipos se dividen en grupos de $4$ equipos. En grupos, los equipos juegan entre sí, una vez, luego de acuerdo con los puntos anotados $a,b,c$ y $d$ ( $a>b>c>d$ ) los equipos toman el primer, segundo, tercer y cuarto lugar en sus grupos. Dar todas las posibles opciones para la distribución de puntos $a,b,c$ y $d$

Sea $k$ un entero positivo fijo. Para cada $n = 1, 2,...,$ llamaremos configuración de orden $n$ a cualquier conjunto de $kn$ puntos del plano, que no contiene $3$ colineales, coloreados con $k$ colores dados, de modo que haya $n$ puntos de cada color. Determina todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: en cada configuración de orden $n$ , es posible seleccionar tres puntos de cada color, tales que los $k$ triángulos con vértices del mismo color que se determinan son disjuntos por pares.

Decimos que $M$ es el punto medio de la poligonal abierta $XYZ$ , formada por los segmentos $XY, YZ$ , si $M$ pertenece a la poligonal y divide su longitud por la mitad. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . Sean $A_1, B_1,C_1,A_2, B_2,C_2$ los puntos medios de las poligonales abiertas $CAB, ABC, BCA, BHC, CHA, AHB$ , respectivamente. Muestra que las rectas $A_1 A_2, B_1B_2$ y $C_1C_2$ son concurrentes.