Hallar todos los números reales $a,b,c,d$ tales que \n\[ \left\{\begin{array}{cc}a + b + c + d = 20, \\\nab + ac + ad + bc + bd + cd = 150. \end{array} \right.\]

Considere un entero $n \ge 4 $ y una secuencia de números reales $x_1, x_2, x_3,..., x_n$ . Una operación consiste en eliminar todos los números que no tengan el rango de la forma $4k + 3$ , dejando así sólo los números $x_3. x_7. x_{11}, ...$ ( por ejemplo, la secuencia $4,5,9,3,6, 6,1, 8$ produce la secuencia $9,1$ ) . Sobre la secuencia $1, 2, 3, ..., 1024 $ la operación se realiza sucesivamente durante $5$ veces. Demuestre que al final sólo queda un número y encuentre este número.

Demuestre que $(x + y + z) \big(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\big) \ge 4 \big(\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}\big)^2$ , para todos los números reales positivos $x, y $ y $z$ .

Determine el valor mínimo del primo $p> 3$ para el cual no existe un número natural $n> 0$ tal que $2^n+3^n\equiv 0\pmod{p} $ .

Sea $f : N \to R$ una función, que satisface la siguiente condición: para cada entero $n > 1$, existe un divisor primo $p$ de $n$ tal que $f(n) = f \big(\frac{n}{p}\big)-f(p)$. Si $f(2^{2007}) + f(3^{2008}) + f(5^{2009}) = 2006$, determine el valor de $f(2007^2) + f(2008^3) + f(2009^5)$.

¿Es posible ordenar los números $1^1, 2^2,..., 2008^{2008}$ uno tras otro, de tal manera que el número obtenido sea un cuadrado perfecto? (Explique su respuesta.)

Encuentra todas las ternas $(x,y,z)$ de números reales que satisfacen el sistema $\begin{cases} x + y + z = 2008 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 6024^2 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2008} \end{cases}$

Sea el parámetro real $p$ tal que el sistema $\begin{cases} p(x^2 - y^2) = (p^2- 1)xy \\ |x - 1|+ |y| = 1 \end{cases}$ tiene al menos tres soluciones reales diferentes. Encuentra $p$ y resuelve el sistema para esa $p$ .

Encuentra todos los números reales $ a,b,c,d$ tales que \[ \left\{\begin{array}{cc}a + b + c + d = 20, \\ab + ac + ad + bc + bd + cd = 150. \end{array} \right.\]

Si para los números reales $x, y,z, k$ se cumplen las siguientes condiciones, $x \ne y \ne z \ne x$ y $x^3 +y^3 +k(x^2 +y^2) = y^3 +z^3 +k(y^2 +z^2) = z^3 +x^3 +k(z^2 +x^2) = 2008$ , halla el producto $xyz$ .