La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 28 de oct. de 2010, 8:15 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $c, s$ funciones reales definidas en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ que no son constantes en ningún intervalo y que satisfacen \[c\left(\frac{x}{y}\right)= c(x)c(y) - s(x)s(y)\text{ para todo }x \neq 0, y \neq 0\] Demuestre que: $(a) c\left(\frac{1}{x}\right) = c(x), s\left(\frac{1}{x}\right) = -s(x)$ para todo $x \neq 0$, y también $c(1) = 1, s(1) = s(-1) = 0$ ; $(b) c$ y $s$ son ambas funciones pares o ambas funciones impares (una función $f$ es par si $f(x) = f(-x)$ para todo $x$, e impar si $f(x) = -f(-x)$ para todo $x$). Encuentre las funciones $c, s$ que también satisfacen $c(x) + s(x) = x^n$ para todo $x$, donde $n$ es un entero positivo dado. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 28 de oct. de 2010, 7:53 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Encuentre todos los números naturales $n < 1978$ con la siguiente propiedad: Si $m$ es un número natural, $1 < m < n$, y $(m, n) = 1$ (es decir, $m$ y $n$ son primos entre sí), entonces $m$ es un número primo. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Jjesus 523 publicaciones Jjesus #1 h 27 de nov. de 2020, 10:25 a. m. Y por Decimos que un entero positivo es súper impar si todos sus dígitos son impares. Por ejemplo, 1737 es súper impar y 3051 no lo es. Encuentre un entero positivo par que no pueda expresarse como la suma de dos números súper impares y explique por qué no es posible expresarlo de esa manera. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 13 de oct. de 2010, 11:32 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que para cualquier número natural $n$ existen dos números primos $p$ y $q, p \neq q$, tales que $n$ divide a su diferencia. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Goutham, 13 de oct. de 2010, 11:33 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 28 de oct. de 2010, 8:04 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Un círculo toca los lados $AB, BC, CD, DA$ de un cuadrado en los puntos $K, L, M, N$ respectivamente, y $BU, KV$ son líneas paralelas tales que $U$ está en $DM$ y $V$ está en $DN$. Demuestre que $UV$ toca el círculo. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 28 de oct. de 2010, 7:55 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 La ecuación $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ tiene tres raíces reales (no necesariamente distintas) $t, u, v$. ¿Para qué valores de $a, b, c$ los números $t^3, u^3, v^3$ satisfacen la ecuación $x^3 + a^3x^2 + b^3x + c^3 = 0$? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 20 de octubre de 2010, 11:25 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $O$ el centro de un círculo. Sean $OU,OV$ radios perpendiculares del círculo. La cuerda $PQ$ pasa por el punto medio $M$ de $UV$. Sea $W$ un punto tal que $PM = PW$, donde $U, V,M,W$ son colineales. Sea $R$ un punto tal que $PR = MQ$, donde $R$ yace sobre la recta $PW$. Demuestre que $MR = UV$. Versión alternativa: Se da un círculo $S$ con centro $O$ y radio $r$. Sea $M$ un punto cuya distancia desde $O$ es $\frac{r}{\sqrt{2}}$. Sea $PMQ$ una cuerda de $S$. El punto $N$ está definido por $\overrightarrow{PN} =\overrightarrow{MQ}$. Sea $R$ la reflexión de $N$ respecto a la recta que pasa por $P$ y es paralela a $OM$. Demuestre que $MR =\sqrt{2}r$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 30 de oct. de 2010, 4:22 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $A$ es un entero positivo de $2m$ dígitos, cada uno de cuyos dígitos es $1$. $B$ es un entero positivo de $m$ dígitos, cada uno de cuyos dígitos es $4$. Demuestre que $A+B +1$ es un cuadrado perfecto. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 19 de oct. de 2010, 9:41 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Determine el sexto número después del punto decimal en el número $(\sqrt{1978} +\lfloor\sqrt{1978}\rfloor)^{20}$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de enero de 2004, 7:07 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $x$ e $y$ dos enteros distintos de $0$ tales que $x+y$ es un divisor de $x^2+y^2$. Y sea $\frac{x^2+y^2}{x+y}$ un divisor de $1978$. Demuestre que $x = y$. German IMO Selection Test 1979, problema 2 Z K Y