La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 1:46 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Rounak_iitr En un triángulo $ABC$ tenemos $AB = AC.$ Un círculo que es tangente internamente al círculo circunscrito del triángulo también es tangente a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q,$ respectivamente. Demuestre que el punto medio de $PQ$ es el centro del círculo inscrito del triángulo $ABC.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 30 de oct. de 2010, 12:43 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Para dos triángulos dados $A_1A_2A_3$ y $B_1B_2B_3$ con áreas $\Delta_A$ y $\Delta_B$, respectivamente, $A_iA_k \ge B_iB_k, i, k = 1, 2, 3$. Demuestre que $\Delta_A \ge \Delta_B$ si el triángulo $A_1A_2A_3$ no es obtusángulo. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 28 de oct. de 2010, 8:15 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $c, s$ funciones reales definidas en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ que no son constantes en ningún intervalo y que satisfacen \[c\left(\frac{x}{y}\right)= c(x)c(y) - s(x)s(y)\text{ para todo }x \neq 0, y \neq 0\] Demuestre que: $(a) c\left(\frac{1}{x}\right) = c(x), s\left(\frac{1}{x}\right) = -s(x)$ para todo $x \neq 0$, y también $c(1) = 1, s(1) = s(-1) = 0$ ; $(b) c$ y $s$ son ambas funciones pares o ambas funciones impares (una función $f$ es par si $f(x) = f(-x)$ para todo $x$, e impar si $f(x) = -f(-x)$ para todo $x$). Encuentre las funciones $c, s$ que también satisfacen $c(x) + s(x) = x^n$ para todo $x$, donde $n$ es un entero positivo dado. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 2:04 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Una función $f : I \to \mathbb R$ , definida en un intervalo $I$ , se llama cóncava si $f(\theta x + (1 - \theta)y) \geq \theta f(x) + (1 - \theta)f(y)$ para todo $x, y \in I$ y $0 \leq \theta \leq 1$ . Suponga que las funciones $f_1, \ldots , f_n$ , que tienen todas valores no negativos, son cóncavas. Demuestre que la función $(f_1f_2 \cdots f_n)^{1/n}$ es cóncava. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 30 de oct. de 2010, 4:15 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Una sucesión $(a_n)_0^N$ de números reales se llama cóncava si $2a_n\ge a_{n-1} + a_{n+1}$ para todo entero $n, 1 \le n \le N - 1$. $(a)$ Demuestre que existe una constante $C >0$ tal que \[\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{N}a_n\right)^2\ge C(N - 1)\displaystyle\sum_{n=0}^{N}a_n^2\:\:\:\:\:(1)\] para toda sucesión positiva cóncava $(a_n)^N_0$. $(b)$ Demuestre que $(1)$ se cumple con $C = \frac{3}{4}$ y que esta constante es la mejor posible. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 16 de oct. de 2010, 12:59 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre todos los números $\alpha$ para los cuales la ecuación \[x^2 - 2x[x] + x -\alpha = 0\] tiene dos raíces no negativas. ($[x]$ denota el mayor entero menor o igual a x.) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 31 de oct. de 2010, 10:50 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $\mathcal{C}$ el circuncírculo del cuadrado con vértices $(0, 0), (0, 1978), (1978, 0), (1978, 1978)$ en el plano cartesiano. Demuestre que $\mathcal{C}$ no contiene ningún otro punto cuyas coordenadas sean ambas números enteros. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 30 de oct. de 2010, 12:49 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Una sucesión $(a_n)^{\infty}_0$ de números reales se llama convexa si $2a_n\le a_{n-1}+a_{n+1}$ para todo entero positivo $n$. Sea $(b_n)^{\infty}_0$ una sucesión de números positivos y suponga que la sucesión $(\alpha^nb_n)^{\infty}_0$ es convexa para cualquier elección de $\alpha > 0$. Demuestre que la sucesión $(\log b_n)^{\infty}_0$ es convexa. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de octubre de 2010, 7:52 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $A,B,C,D,E$ son puntos en un círculo $O$ con radio igual a $r$. Las cuerdas $AB$ y $DE$ son paralelas entre sí y tienen una longitud igual a $x$. Se trazan las diagonales $AC,AD,BE, CE$. Si el segmento $XY$ en $O$ corta a $AC$ en $X$ y a $EC$ en $Y$, demuestre que las rectas $BX$ y $DY$ se cortan en $Z$ sobre el círculo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 1:36 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Se dan en el plano dos triángulos equiláteros orientados de forma idéntica, $ABC$ con centro $S$ y $A'B'C$. También tenemos $A' \neq S$ y $B' \neq S$. Si $M$ es el punto medio de $A'B$ y $N$ el punto medio de $AB'$, demuestre que los triángulos $SB'M$ y $SA'N$ son semejantes. Z K Y