Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC = BC$ . El punto $D$ se encuentra en el lado $AB$ tal que la semicircunferencia con diámetro $BD$ y centro $O$ es tangente al lado $AC$ en el punto $P$ e interseca al lado $BC$ en el punto $Q$ . El radio $OP$ interseca a la cuerda $DQ$ en el punto $E$ tal que $5 \cdot PE = 3 \cdot DE$ . Encuentre la razón $\frac{AB}{BC}$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A<{{90}^{o}} $. Fuera de un triángulo consideramos los triángulos isósceles $ABE$ y $ACZ$ con bases $AB$ y $AC$ , respectivamente. Si el punto medio $D$ del lado $BC$ es tal que $DE \perp DZ$ y $EZ = 2 \cdot ED$ , demuestre que $\angle AEB = 2 \cdot \angle AZC$ .

¿Es posible cubrir un cuadrado dado con algunos triángulos rectángulos congruentes con un ángulo agudo igual a ${{30}^{o}}$ ? (Los triángulos no pueden superponerse ni exceder los márgenes del cuadrado).

Sea $ABC$ un triángulo, ($BC < AB$). La línea $l$ que pasa por los vértices $C$ y es ortogonal a la bisectriz del ángulo $BE$ de $\angle B$, se encuentra con $BE$ y la mediana $BD$ del lado $AC$ en los puntos $F$ y $G$, respectivamente. Demuestra que el segmento $DF$ biseca el segmento $EG$.

Los vértices $A$ y $B$ de un triángulo equilátero $ABC$ se encuentran en un círculo $k$ de radio $1$, y el vértice $C$ está en el interior del círculo $k$. Un punto $D$, diferente de $B$, se encuentra en $k$ de modo que $AD=AB$. La línea $DC$ interseca a $k$ por segunda vez en el punto $E$. Encuentra la longitud del segmento de línea $CE$.

Para un triángulo $ABC$ fijo, elegimos un punto $M$ en el rayo $CA$ (después de $A$), un punto $N$ en el rayo $AB$ (después de $B$) y un punto $P$ en el rayo $BC$ (después de $C$) de tal manera que $AM -BC = BN- AC = CP – AB$. Demuestra que los ángulos del triángulo $MNP$ no dependen de la elección de $M, N, P$.

Dos cuerdas perpendiculares de un círculo, $AM, BN$, que se intersecan en el punto $K$, definen en el círculo cuatro arcos con longitudes diferentes por pares, siendo $AB$ el más pequeño de ellos. Dibujamos las cuerdas $AD, BC$ con $AD // BC$ y $C, D$ diferentes de $N, M$. Si $L$ es el punto de intersección de $DN, MC$ y $T$ el punto de intersección de $DC, KL$, prueba que $\angle KTC = \angle KNL$.

Una tabla de $4\times 4$ se divide en $16$ celdas cuadradas unitarias blancas. Dos celdas se llaman vecinas si comparten un lado común. Un movimiento consiste en elegir una celda y cambiar los colores de los vecinos de blanco a negro o de negro a blanco. Después de exactamente $n$ movimientos, las $16$ celdas estaban negras. Encuentra todos los valores posibles de $n$.

Hallar todos los números primos $p,q,r$, tales que $ \frac{p}{q}-\frac{4}{r+1}=1$

Los vértices $A$ y $B$ de un triángulo equilátero $ABC$ se encuentran en un círculo $k$ de radio $1$, y el vértice $C$ está en el interior del círculo $k$. Un punto $D$, diferente de $B$, se encuentra en $k$ de modo que $AD=AB$. La línea $DC$ intersecta a $k$ por segunda vez en el punto $E$. Encuentra la longitud del segmento de línea $CE$.