1 Sean $a$ , $b$ y $c$ las longitudes de los lados del triángulo $ABC$ . Demuestre que al menos una de las ecuaciones $$x^2-2bx+2ac=0$$ $$x^2-2cx+2ab=0$$ $$x^2-2ax+2bc=0$$ no tiene soluciones reales

2 Demuestre la desigualdad $$\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{a+c-b}+\frac{c^2}{a+b-c} \geq 3\sqrt{3}R$$ en el triángulo $ABC$ donde $a$ , $b$ y $c$ son los lados del triángulo y $R$ el radio de la circunferencia circunscrita de $ABC$

3 Sea $f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ una función inyectiva tal que $f(0)+f(1)=1$ . Demuestre que existen $x_1$ , $x_2 \in [0,1]$ , $x_1 \neq x_2$ tales que $2f(x_1)<f(x_2)+\frac{1}{2}$ . Después enuncie al menos una generalización de este resultado

4 Sean las bisectrices de los ángulos $\angle BAC$ y $\angle ABC$ del triángulo $ABC$ que intersecan a los lados $BC$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente. Sean los puntos $F$ y $G$ los pies de las perpendiculares desde el punto $C$ sobre las rectas $AD$ y $BE$ , respectivamente. Demuestre que $FG \mid \mid AB$

5 Para cualquier conjunto no vacío $S$ , definimos $\sigma(S)$ y $\pi(S)$ como la suma y el producto de todos los elementos del conjunto $S$ , respectivamente. Demuestre que $a)$ $\sum \limits_{} \frac{1}{\pi(S)} =n$ $b)$ $\sum \limits_{} \frac{\sigma(S)}{\pi(S)} =(n^2+2n)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)(n+1)$ donde $\sum$ denota la suma sobre todos los subconjuntos no vacíos $S$ del conjunto $\{1,2,...,n\}$

6 Se da el polinomio $$P(x)=x^4+3x^3+3x+p, (p \in \mathbb{R})$$ $a)$ Halle $p$ tal que existe un polinomio con una raíz imaginaria $x_1$ tal que $\mid x_1 \mid =1$ y $2Re(x_1)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{17}-3\right)$ $b)$ Halle todas las demás raíces del polinomio $P$ $c)$ Demuestre que no existe un entero positivo $n$ tal que $x_1^n=1$

1 Sean $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ , $P_4$ y $P_5$ cinco puntos distintos que están dentro de $D$ o en la frontera de la figura $D$ . Sea $M=min\left\{P_iP_j \mid i \neq j\right\}$ la distancia mínima entre puntos distintos $P_i$ . ¿Para cuál configuración de los puntos $P_i$ el valor $M$ es máximo, si : $a)$ $D$ es el cuadrado unitario $b)$ $D$ es el triángulo equilátero de lado igual a $1$ $c)$ $D$ es el círculo unitario, el círculo de radio $1$

2 Para números reales positivos $x$ , $y$ y $z$ se cumple $x^2+y^2+z^2=1$ . Demuestre que $$\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$$

1 Halle las raíces reales $x_1$ , $x_2$ de la ecuación $x^5-55x+21=0$ , si sabemos que $x_1\cdot x_2=1$

5 Sea $T_m$ el número de triángulos no congruentes cuyo perímetro es $m$ y cuyos lados son todos enteros positivos. Demuestre que: $a)$ $T_{1999} > T_{2000}$ $b)$ $T_{4n+1}=T_{4n-2}+n$ , $(n \in \mathbb{N})$