19 $(FRA 2)$ Sea $n$ un entero que no es divisible por ningún cuadrado mayor que $1.$ Denotemos por $x_m$ la última cifra del número $x^m$ en el sistema de numeración de base $n.$ ¿Para qué enteros $x$ es posible que $x_m$ sea $0$? Demuestra que la sucesión $x_m$ es periódica con período $t$ independiente de $x.$ ¿Para qué $x$ tenemos $x_t = 1$? Demuestra que si $m$ y $x$ son primos relativos, entonces $0_m, 1_m, \ldots, (n-1)_m$ son números distintos. Encuentra el período mínimo $t$ en términos de $n$. Si $n$ no cumple la condición dada, demuestra que es posible tener $x_m = 0 \neq x_1$ y que la sucesión es periódica solo a partir de algún número $k > 1.$

14 $(CZS 3)$ Sean $a$ y $b$ dos números reales positivos. Si $x$ es una solución real de la ecuación $x^2 + px + q = 0$ con coeficientes reales $p$ y $q$ tales que $|p| \le a, |q| \le b,$ demuestra que $|x| \le \frac{1}{2}(a +\sqrt{a^2 + 4b})$. Recíprocamente, si $x$ satisface la desigualdad anterior, demuestra que existen números reales $p$ y $q$ con $|p|\le a, |q|\le b$ tales que $x$ es una de las raíces de la ecuación $x^2+px+ q = 0.$

15 $(CZS 4)$ Sean $K_1,\cdots , K_n$ enteros no negativos. Demuestra que $K_1!K_2!\cdots K_n! \ge \left[\frac{K}{n}\right]!^n$, donde $K = K_1 + \cdots + K_n$.

10 $(BUL 4)$ Sea $M$ el punto interior del triángulo rectángulo $ABC (\angle C = 90^{\circ})$ tal que $\angle MAB = \angle MBC = \angle MCA =\phi.$ Sea $\Psi$ el ángulo agudo entre las medianas de $AC$ y $BC.$ Demuestra que $\frac{\sin(\phi+\Psi)}{\sin(\phi-\Psi)}= 5.$

9 (BUL 3) Se colocan cien polígonos convexos sobre un cuadrado de lado \(38\) cm. El área de cada uno de los polígonos es menor que \(\pi\) cm\(^2\), y el perímetro de cada uno de los polígonos es menor que \(2\pi\) cm. Demuestra que existe un disco de radio \(1\) en el cuadrado que no interseca a ninguno de los polígonos.

11 $(BUL 5)$ Sea $Z$ un conjunto de puntos en el plano. Supón que existe un par de puntos que no pueden unirse mediante una línea poligonal que no pase por ningún punto de $Z.$ Llamemos a tal par de puntos no unibles. Demuestra que para cada real $r > 0$ existe un par de puntos no unibles separados por una distancia $r.$

12 $(CZS 1)$ Dado un cubo unitario, halla el lugar geométrico de los centroides de todos los tetraedros cuyos vértices se encuentran sobre las aristas del cubo.

20 $(FRA 3)$ Se da un polígono (no necesariamente convexo) cuyos vértices son puntos de la retícula de una cuadrícula rectangular. El área del polígono es $S.$ Si $I$ es el número de puntos de la retícula que están estrictamente en el interior del polígono y $B$ el número de puntos de la retícula en el borde del polígono, encuentra el número $T = 2S- B -2I + 2.$

21 $(FRA 4)$ Un triángulo rectángulo $OAB$ tiene su ángulo recto en el punto $B.$ Un círculo arbitrario con centro en la recta $OB$ es tangente a la recta $OA.$ Sea $AT$ la tangente al círculo distinta de $OA$ ($T$ es el punto de tangencia). Demuestra que la mediana desde $B$ del triángulo $OAB$ interseca a $AT$ en un punto $M$ tal que $MB = MT.$

22 $(FRA 5)$ Sea $\alpha(n)$ el número de pares $(x, y)$ de enteros tales que $x+y = n, 0 \le y \le x$, y sea $\beta(n)$ el número de ternas $(x, y, z)$ tales que $x + y + z = n$ y $0 \le z \le y \le x.$ Encuentra una relación simple entre $\alpha(n)$ y la parte entera del número $\frac{n+2}{2}$ y la relación entre $\beta(n), \beta(n -3)$ y $\alpha(n).$ Luego evalúa $\beta(n)$ como una función del residuo de $n$ módulo $6$. ¿Qué se puede decir acerca de $\beta(n)$ y $1+\frac{n(n+6)}{12}$? ¿Y acerca de $\frac{(n+3)^2}{6}$? Encuentra el número de ternas $(x, y, z)$ con la propiedad $x+ y+ z \le n, 0 \le z \le y \le x$ como una función del residuo de $n$ módulo $6.$ ¿Qué se puede decir acerca de la relación entre este número y el número $\frac{(n+6)(2n^2+9n+12)}{72}$?