3 ¿Cuál es el producto de las raíces reales de la ecuación \[x^2 + 18x + 30 = 2 \sqrt{x^2 + 18x + 45}\,\,?\]

10 Los números 1447, 1005 y 1231 tienen algo en común: cada uno es un número de cuatro dígitos que empieza con 1 y tiene exactamente dos dígitos idénticos. ¿Cuántos números de este tipo hay?

5 Supón que la suma de los cuadrados de dos números complejos $x$ y $y$ es 7 y la suma de los cubos es 10. ¿Cuál es el mayor valor real que puede tener $x + y$?

8 ¿Cuál es el factor primo de 2 dígitos más grande del entero $n = \binom{200}{100}$?

4 Una herramienta de corte de una máquina tiene la forma de un círculo con una muesca, como se muestra. El radio del círculo es $\sqrt{50}$ cm, la longitud de $AB$ es 6 cm, y la de $BC$ es 2 cm. El ángulo $ABC$ es un ángulo recto. Encuentra el cuadrado de la distancia (en centímetros) desde $B$ al centro del círculo. [asy] size(150); defaultpen(linewidth(0.65)+fontsize(11)); real r=10; pair O=(0,0),A=r*dir(45),B=(A.x,A.y-r),C; path P=circle(O,r); C=intersectionpoint(B--(B.x+r,B.y),P); draw(Arc(O, r, 45, 360-17.0312)); draw(A--B--C);dot(A); dot(B); dot(C); label("$A$",A,NE); label("$B$",B,SW); label("$C$",C,SE); [/asy]

1 Demuestre que para cada coloración de los puntos interiores o de la frontera de un cuadrado con $1391$ colores, existe un hexágono regular monocromático.

El diámetro \(AB\) de un círculo tiene una longitud que es un entero de 2 dígitos (en base diez). Al invertir los dígitos se obtiene la longitud de la cuerda perpendicular \(CD\). La distancia desde su punto de intersección \(H\) hasta el centro \(O\) es un número racional positivo. Determina la longitud de \(AB\).

13 Para $\{1, 2, 3, \dots, n\}$ y para cada uno de sus subconjuntos no vacíos se define una suma alternante única de la siguiente manera: Ordena los números del subconjunto en orden decreciente y luego, comenzando con el mayor, alterna sumar y restar los números sucesivos. (Por ejemplo, la suma alternante para $\{1, 2, 4, 6, 9\}$ es $9 - 6 + 4 - 2 + 1 = 6$ y para $\{5\}$ es simplemente 5.) Encuentra la suma de todas esas sumas alternantes para $n = 7$.

11 El sólido mostrado tiene una base cuadrada de lado $s$. El borde superior es paralelo a la base y tiene longitud $2s$. Todos los demás bordes tienen longitud $s$. Dado que $s = 6 \sqrt{2}$, ¿cuál es el volumen del sólido? [asy] import three; size(170); pathpen = black+linewidth(0.65); pointpen = black; currentprojection = perspective(30,-20,10); real s = 6 * 2^.5; triple A=(0,0,0),B=(s,0,0),C=(s,s,0),D=(0,s,0),E=(-s/2,s/2,6),F=(3*s/2,s/2,6); draw(F--B--C--F--E--A--B); draw(A--D--E, dashed); draw(D--C, dashed); label("$2s$", (s/2, s/2, 6), N); label("$s$", (s/2, 0, 0), SW); [/asy]

4 $ a_1, a_2, \cdots, a_n$ es una sucesión de números reales, y $ b_1, b_2, \cdots, b_n$ son números reales que satisfacen la condición $ 1 \ge b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n \ge 0$ . Demuestre que existe un número natural $ k \le n$ que satisface $ |a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n| \le |a_1 + a_2 + \cdots + a_k|$