1 Un triángulo equilátero blanco $T$ de lado $2022$ está dividido en triángulos equiláteros de lado $1$ (casillas) por rectas paralelas a los lados de $T$ . Llamaremos a dos casillas $\textit{adjacent}$ si tienen un vértice en común. Iván colorea algunas de las casillas de negro. Sin saber qué casillas son negras, Pedro elige un conjunto $S$ de casillas e Iván le dice la paridad del número de casillas negras en $S$ . Después de saber esto, Pedro puede determinar la paridad del número de casillas $\textit{adjacent}$ de colores diferentes. Halle todas las cardinalidades posibles de $S$ tales que esto sea siempre posible independientemente de cómo Iván elija colorear las casillas.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $M$ el punto medio de $AB$ . Un círculo que pasa por los puntos $B$ y $C$ interseca los segmentos $CM$ y $BM$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. El punto $K$ es simétrico de $P$ con respecto al punto $M$ . Las circunferencias circunscritas de $\triangle AKM$ y $\triangle CQM$ se intersecan por segunda vez en $X$ . Las circunferencias circunscritas de $\triangle AMC$ y $\triangle KMQ$ se intersecan por segunda vez en $Y$ . Los segmentos $BP$ y $CQ$ se intersecan en el punto $T$ . Demuestre que la recta $MT$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\triangle MXY$ .

3 Sean $x>y>2022$ enteros positivos tales que $xy+x+y$ es un cuadrado perfecto. ¿Es posible que para todo entero positivo $z$ del intervalo $[x+3y+1,3x+y+1]$ los números $x+y+z$ y $x^2+xy+y^2$ no sean coprimos?

4 Sea $n\geq 4$ un entero positivo y sean $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},x_{n+2}$ números reales tales que $x_{n+1}=x_{1}$ y $x_{n+2}=x_{2}$ . Si existe un $a>0$ tal que \[x_{i}^2=a+x_{i+1}x_{i+2}\quad\forall 1\leq i\leq n\] entonces demuestre que al menos $2$ de los números $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ son negativos.

6 Sea $n\geq 2$ un entero positivo. Los conjuntos $A_{1},A_{2},\ldots, A_{n}$ y $B_{1},B_{2},\ldots, B_{n}$ de enteros positivos son tales que $A_{i}\cap B_{j}$ es no vacío $\forall i,j\in\{1,2,\ldots ,n\}$ y $A_{i}\cap A_{j}=\o$ , $B_{i}\cap B_{j}=\o$ $\forall i\neq j\in \{1,2,\ldots, n\}$ . Ordenamos los elementos de cada conjunto en orden descendente y calculamos las diferencias entre elementos consecutivos en este nuevo orden. Halle el menor valor posible del mayor de todas estas diferencias.

1 Una ciudad tiene $4$ bulevares horizontales y $n\geq3$ bulevares verticales que se intersecan en $4n$ cruces. Los cruces dividen cada bulevar horizontal en $n-1$ calles y cada bulevar vertical en $3$ calles. El alcalde de la ciudad decide cerrar el menor número posible de cruces para que la ciudad no tenga un camino cerrado (esto significa que partiendo de cualquier calle y yendo solo por cruces abiertos sin dar la vuelta no se puede regresar a la misma calle). $a)$ Demuestre que exactamente $n$ cruces están cerrados. $b)$ Demuestre que si desde cualquier calle se puede ir a cualquier otra calle y ninguno de los $4$ cruces de las esquinas está cerrado, entonces exactamente $3$ cruces en el borde están cerrados (un cruce está en el borde si está sobre el primer o cuarto bulevar horizontal, o sobre el primer o el n-ésimo bulevar vertical).

3 Se dan $5$ puntos en el plano, cualesquiera tres no colineales y cualesquiera cuatro no concíclicos. Si tres puntos determinan una circunferencia que tiene uno de los puntos restantes en su interior y el otro en su exterior, entonces se dice que la circunferencia es buena . Sea $n$ el número de circunferencias buenas; halle todos los valores posibles de $n$ .

Sea $a_1\in\mathbb{Z}$ , $a_2=a_1^2-a_1-1$ , $\dots$ , $a_{n+1}=a_n^2-a_n-1$ . Demuestre que $a_{n+1}$ y $2n+1$ son coprimos. H.M-Deadline

2 Se da un punto $T$ sobre la altura trazada por el punto $C$ en el triángulo acutángulo $ABC$ con circuncentro $O$ , tal que $\measuredangle TBA=\measuredangle ACB$ . Si la recta $CO$ interseca el lado $AB$ en el punto $K$ , demuestre que la mediatriz de $AB$ , la altura trazada por $A$ y el segmento $KT$ son concurrentes.

3 Halle todas las $f:R^+ \rightarrow R^+$ tales que $f(f(x) + y)f(x) = f(xy + 1)\ \ \forall x, y \in R^+$ @below: https://artofproblemsolving.com/community/c6h2254883_2020_imoc_problems Quote: Feel free to start individual threads for the problems as usual