75 Una sucesión $\{an\}$ de enteros positivos se define por \[a_n=\left[ n +\sqrt n + \frac 12 \right] , \qquad \forall n \in \mathbb N\] Determine los enteros positivos que aparecen en la sucesión. Amir

76 Dado cualquier triángulo $ABC$ y cualquier entero positivo $n$ , decimos que $n$ es un número descomponible para el triángulo $ABC$ si existe una descomposición del triángulo $ABC$ en $n$ subtriángulos, cada uno semejante a $\triangle ABC$ . Determine los enteros positivos que son números descomponibles para todo triángulo. Amir

78 Sea $F_n$ el n-ésimo número de Fibonacci, definido por $F_1 = F_2 = 1$ y $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ para $n > 2$ . Sean $A_0, A_1, A_2,\cdots$ una sucesión de puntos sobre un círculo de radio $1$ tal que el arco menor de $A_{k-1}$ a $A_k$ recorre el sentido de las agujas del reloj y tal que \[\mu(A_{k-1}A_k)=\frac{4F_{2k+1}}{F_{2k+1}^2+1}\] para $k \geq 1$ , donde $\mu(XY )$ denota la medida en radianes del arco $XY$ en el sentido de las agujas del reloj. ¿Cuál es el límite de la medida en radianes del arco $A_0A_n$ cuando $n$ tiende a infinito? Amir

79 Sea $ \lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $ x.$ Elija cualquier $ x_1$ en $ [0, 1)$ y defina la sucesión $ x_1, x_2, x_3, \ldots$ mediante $ x_{n+1} = 0$ si $ x_n = 0$ y $ x_{n+1} = \frac{1}{x_n} - \left \lfloor \frac{1}{x_n} \right \rfloor$ en caso contrario. Demuestre que \[ x_1 + x_2 + \ldots + x_n < \frac{F_1}{F_2} + \frac{F_2}{F_3} + \ldots + \frac{F_n}{F_{n+1}},\] donde $ F_1 = F_2 = 1$ y $ F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ para $ n \geq 1.$

80 Dado un grafo con $n$ vértices y un entero positivo $m$ menor que $ n$ , demuestre que el grafo contiene un conjunto de $m+1$ vértices en el cual la diferencia entre el mayor grado de cualquier vértice del conjunto y el menor grado de cualquier vértice del conjunto es a lo sumo $m-1.$ Amir

81 Suponga que los puntos $X, Y,Z$ están ubicados sobre los lados $BC, CA$ y $AB$ , respectivamente, del triángulo $ABC$ de tal manera que el triángulo $XY Z$ es semejante al triángulo $ABC$ . Demuestre que el ortocentro del triángulo $XY Z$ es el circuncentro del triángulo $ABC.$ Amir

82 Sean $f(x) = x^m + a_1x^{m-1} + \cdots+ a_{m-1}x + a_m$ y $g(x) = x^n + b_1x^{n-1} + \cdots + b_{n-1}x + b_n$ dos polinomios con coeficientes reales tales que, para cada número real $x, f(x)$ es el cuadrado de un entero si y solo si lo es $g(x)$ . Demuestre que si $n +m > 0$ , entonces existe un polinomio $h(x)$ con coeficientes reales tal que $f(x) \cdot g(x) = (h(x))^2.$ Observación. El problema original afirmaba que $g(x) = x^n + b_1x^{n-1} + \cdots + {\color{red}{ b_{n-1}}} + b_n$ , pero creo que la forma correcta del problema es la que escribí. Amir

1 Sean $u, v$ números reales positivos arbitrarios. Demuestre que \[\min{(u, \frac{100}{v}, v+\frac{2023}{u})} \leq \sqrt{2123}.\]

En un torneo de ajedrez, cada par de concursantes jugó entre sí a lo sumo una vez. Si dos concursantes cualesquiera, $A$ y $B$ , no jugaron entre sí, entonces exactamente otros dos concursantes, $C$ y $D$ , jugaron contra $A$ y contra $B$ durante el torneo. Además, ningún grupo de $4$ concursantes jugó exactamente $5$ partidas entre ellos. Demuestre que todos los concursantes jugaron el mismo número de partidas. Autor: Mirko Petrushevski

N2 Sea $k$ un entero positivo. Considere $k$ números primos no necesariamente distintos tales que su producto es diez veces su suma. ¿Cuáles son estos primos y cuál es el valor de $k$ ?