23 Una pantalla de lámpara es parte de la superficie de un cono circular recto cuyo eje es vertical. Sus bordes superior e inferior son dos circunferencias horizontales. Se seleccionan dos puntos en la circunferencia superior más pequeña y cuatro puntos en la circunferencia inferior más grande. Cada uno de estos seis puntos tiene tres de los otros que son sus vecinos más cercanos a una distancia $d$ de él. Por distancia se entiende la distancia más corta medida sobre la superficie curva de la pantalla de la lámpara. Demuestre que el área de la pantalla de la lámpara es $d^2(2\theta + \sqrt 3)$ donde $\cot \frac {\theta}{2} = \frac{3}{\theta}.$ Amir

20 Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales que satisfacen $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$ . Demuestre que para todo entero $k\ge2$ existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , no todos nulos, tales que $|a_i|\le k-1$ para todo $i$ , y $|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\le{(k-1)\sqrt n\over k^n-1}$ . (Problema 3 de la IMO) Propuesto por Alemania, FR Amir

19 ¿Cuántas palabras de $n$ dígitos pueden formarse con el alfabeto $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ , si los dígitos vecinos deben diferir exactamente en uno? Propuesto por Alemania, FR. Amir

17 Considere el número $\alpha$ obtenido escribiendo uno después de otro, a la derecha del punto decimal, las representaciones decimales de $1, 1987, 1987^2, \dots$ . Muestre que $\alpha$ es irracional. Amir

14 Dados $n$ números reales $0 < t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_n < 1$ , demuestre que \[(1-t_n^2) \left( \frac{t_1}{(1-t_1^2)^2}+\frac{t_2}{(1-t_2^3)^2}+\cdots +\frac{t_n}{(1-t_n^{n+1})^2} \right) < 1.\] Amir

16 Sea $ABC$ un triángulo. Para todo punto $M$ perteneciente al segmento $BC$ denotamos por $B'$ y $C'$ las proyecciones ortogonales de $M$ sobre las rectas $AC$ y $BC$ . Encuentre los puntos $M$ para los cuales la longitud del segmento $B'C'$ es mínima. Amir

18 Sea $ABCDEFGH$ un paralelepípedo con $AE \parallel BF \parallel CG \parallel DH$ . Demuestre la desigualdad \[AF + AH + AC \leq AB + AD + AE + AG.\] ¿En qué casos se cumple la igualdad? Propuesto por Francia. Amir

24 Demuestre que si la ecuación $x^4 + ax^3 + bx + c = 0$ tiene todas sus raíces reales, entonces $ab \leq 0.$ Amir

32 Resuelva la ecuación $28^x = 19^y +87^z$ , donde $x, y, z$ son enteros. Amir

33 Muestre que si $a, b, c$ son las longitudes de los lados de un triángulo y si $2S = a + b + c$ , entonces \[\frac{a^n}{b+c} + \frac{b^n}{c+a} +\frac{c^n}{a+b} \geq \left(\dfrac 23 \right)^{n-2}S^{n-1} \quad \forall n \in \mathbb N \] Propuesto por Grecia. Amir