10.1 Sea $M$ el punto medio del cateto $AB$ del triángulo $ABC$ con ángulo recto en $A$ . El punto $D$ está en la mediana $AN$ del triángulo $AMC$ de tal manera que los ángulos $ACD$ y $BCM$ son iguales. Demuestre que el ángulo $DBC$ también es igual a estos ángulos.

A2 Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$f(x^2 + y) \ge (\frac{1}{x} + 1)f(y)$$ se cumple para todo $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ y todo $y \in \mathbb{R}$ .

12.1 En términos de los números reales $a$ y $b$, determina el valor mínimo de $$ \sqrt{(x+a)^2+1}+\sqrt{(x+1-a)^2+1}+\sqrt{(x+b)^2+1}+\sqrt{(x+1-b)^2+1}$$ así como todos los valores de $x$ que lo alcanzan.

1 Sea $G$ un grafo simple con $11$ vértices etiquetados como $v_{1} , v_{2} , ... , v_{11}$ tal que el grado de $v_1$ es igual a $2$ y los grados de los demás vértices son iguales a $3$ . Si para cualquier conjunto $A$ de estos vértices con $|A| \le 4$ , el número de vértices que son adyacentes a al menos un vértice de $A$ y que no están ellos mismos en $A$ es al menos igual a $|A|$ , entonces halle el máximo número posible para el diámetro de $G$ . (La distancia entre dos vértices de un grafo es el número de aristas del camino más corto entre ellos, y el diámetro de un grafo es la mayor distancia entre pares arbitrarios de $V(G)$ . ) Propuesto por Alireza Haqi Shayan-TayefehIR

C2 Fija enteros $n\ge k\ge 2$. Llamamos a una colección de monedas de valores enteros $n$-diversa si ningún valor aparece en ella más de $n$ veces. Dada tal colección, un número $S$ es $n$-alcanzable si esa colección contiene $n$ monedas cuya suma de valores es igual a $S$. Encuentra el menor entero positivo $D$ tal que para cualquier colección $n$-diversa de $D$ monedas hay al menos $k$ números que son $n$-alcanzables. Propuesto por Alexandar Ivanov, Bulgaria.

El $\underline{\text{path number}}$ de una gráfica es el número mínimo de caminos que necesitamos para particionar los vértices de una gráfica. Dada una gráfica conexa con número de independencia $k > 1$ , ¿cuál es el valor máximo posible del número de caminos en esta gráfica? Halle la respuesta en términos de $k$ . El número de independencia de una gráfica $\textbf{G}$ es el máximo número posible $k$ tal que existen $k$ vértices no adyacentes dos a dos en $\textbf{G}$ .

1 Considere un triángulo $ABC$ con incentro $I$. Sea $D$ la intersección de $BI,AC$, y $CI$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $M$. El punto $K$ está sobre la recta $MD$ y $\angle KIA=90^\circ$. Sea $F$ la reflexión de $B$ respecto a $C$. Demuestre que $BIKF$ es cíclico.

12 En el plano se dan una circunferencia $K$ con radio $r$ , un punto $D$ sobre $K$ , y un ángulo convexo con vértice $S$ y rayos $a$ y $b$ . Construya un paralelogramo $ABCD$ tal que $A$ y $B$ yazcan sobre $a$ y $b$ respectivamente, $SA+SB=r$ , y $C$ yazca sobre $K$ .

5 Cinco cubos idénticos vacíos de capacidad de $2$ litros están en los vértices de un pentágono regular. Cenicienta y su malvada Madrastra pasan por una secuencia de rondas: Al comienzo de cada ronda, la Madrastra toma un litro de agua del río cercano y lo distribuye arbitrariamente entre los cinco cubos. Luego Cenicienta elige un par de cubos vecinos, los vacía al río y los vuelve a colocar. Entonces comienza la siguiente ronda. El objetivo de la Madrastra es hacer que uno de estos cubos se desborde. El objetivo de Cenicienta es impedirlo. ¿Puede la malvada Madrastra forzar el desbordamiento de un cubo? Propuesto por Gerhard Woeginger, Países Bajos

11 Dadas una recta $p$ y un triángulo $\Delta$ en el plano, construya un triángulo equilátero uno de cuyos vértices yace sobre la recta $p$ , mientras que los otros dos dividen en dos partes iguales el perímetro de $\Delta.$ Amir