Sean $k$ y $x_0$ enteros positivos. Defina una sucesión de números racionales positivos $x_0, x_1, x_2, \dots$ mediante \[ x_{n+1} = \frac{k}{x_0 + x_1 + \dots + x_n}, \quad \text{for all } n \geq 0. \] Suponga que cada término se puede escribir como $x_n = \frac{a_n}{b_n}$ , donde $a_n$ y $b_n$ son enteros positivos primos relativos. Determine todos los valores de $k$ para los cuales existe una constante racional positiva $c$ tal que, para todas las elecciones de $x_0$ y todo $n \geq 2$ , el número \[ c a_n + b_n \] sea un cuadrado perfecto. Propuesto por Santiago Rodriguez y Gregorio Salazar

A2 Determina todas las soluciones en números reales $x,y,z,w$ del sistema $$x+y+z=w, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{w}.$$

1 Sea $n$ un número natural compuesto. Para cada divisor propio $d$ de $n$ escribimos el número $d + 1$ en la pizarra. Determine todos los números naturales $n$ para los cuales los números escritos en la pizarra son todos los divisores propios de un número natural $m$ . (Los divisores propios de un número natural $a> 1$ son los divisores positivos de $a$ distintos de $1$ y de $a$ . )

Sea $ABC$ un triángulo fijo. Decimos que una recta $\ell$ es balanceada si interseca los segmentos $AC$ y $AB$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente, de tal manera que el área del triángulo $APQ$ sea igual al área del cuadrilátero $BQPC$ . Sea $X$ el punto de intersección de las rectas $BP$ y $CQ$ , y sea $Y$ el punto medio del segmento $PQ$ . Demuestre que la recta $XY$ pasa por un punto fijo, al variar $\ell$ sobre todas las rectas balanceadas. Propuesto por Santiago Rodriguez

Sea $ABC$ un triángulo y sean $B'$ y $C'$ puntos sobre el segmento $BC$ tales que $BB'=CC'$ . Si las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $AB'C'$ se intersecan en $D$ (distinto de $A$ ) . Demuestre que las rectas $AD$ y $BC$ son paralelas. Propuesto por Cristhian Gonzalez

3 Sea $n \geq 2$ un entero dado. $a)$ Demuestre que se pueden ordenar todos los subconjuntos del conjunto $\{1,2... ,n\}$ como una sucesión de subconjuntos $A_{1}, A_{2},\cdots , A_{2^{n}}$ , tal que $|A_{i+1}| = |A_{i}| + 1$ o $|A_{i}| - 1$ , donde $i = 1,2,3,\cdots , 2^{n}$ y $A_{2^{n} + 1} = A_{1}$ . $b)$ Determine todos los valores posibles de la suma $\sum \limits_{i = 1}^{2^n} (-1)^{i}S(A_{i})$ , donde $S(A_{i})$ denota la suma de todos los elementos de $A_{i}$ y $S(\emptyset) = 0$ , para cualquier sucesión de subconjuntos $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{2^n}$ que satisfaga la condición de $a)$

Sean $u$, $f$ y $g$ funciones definidas para todo número real $x$, tales que $$ \frac{u(x+1)+u(x-1)}{2}=f(x) \quad \text{y} \quad \frac{u(x+4)+u(x-4)}{2}=g(x). $$ Determina $u(x)$ en términos de $f$ y $g$.

A4 Para $0<x<1,$ expresa $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2^n}}{1-x^{2^{n+1}}} $$ como una función racional de $x.$

A5 Demuestra que $$\binom{pa}{pb}=\binom{a}{b} (\text{mod } p)$$ para todos los enteros $p,a$ y $b$ con $p$ primo, $p>0$ y $a>b>0.$

A6 Sea $f(x,y)$ una función continua en el cuadrado $$S=\{(x,y):0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1\}.$$ Para cada punto $(a,b)$ en el interior de $S$, sea $S_{(a,b)}$ el cuadrado más grande que está contenido en $S$, está centrado en $(a,b)$ y tiene lados paralelos a los de $S$. Si la integral doble $\int \int f(x,y) dx dy$ es cero al tomarla sobre cada cuadrado $S_{(a,b)}$, ¿debe ser $f(x,y)$ idénticamente cero en $S$?