Un 12-ágono regular está inscrito en un círculo de radio 12. La suma de las longitudes de todos los lados y diagonales del 12-ágono se puede escribir en la forma \[ a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6}, \] donde $a$, $b$, $c$ y $d$ son enteros positivos. Encuentra $a + b + c + d$.

13 Sea \( T = \{9^k : k \ \text{es un entero}, 0 \le k \le 4000\} \). Dado que \( 9^{4000} \) tiene 3817 dígitos y que su primer dígito (el más a la izquierda) es 9, ¿cuántos elementos de \( T \) tienen 9 como su primer dígito?

14 El rectángulo \(ABCD\) de abajo tiene dimensiones \(AB = 12 \sqrt{3}\) y \(BC = 13 \sqrt{3}\). Las diagonales \(\overline{AC}\) y \(\overline{BD}\) se intersecan en \(P\). Si se corta y se retira el triángulo \(ABP\), se unen los bordes \(\overline{AP}\) y \(\overline{BP}\), y luego se pliega la figura a lo largo de los segmentos \(\overline{CP}\) y \(\overline{DP}\), se obtiene una pirámide triangular, cuyas cuatro caras son triángulos isósceles. Encuentra el volumen de esta pirámide. [asy] pair D=origin, A=(13,0), B=(13,12), C=(0,12), P=(6.5, 6); draw(B--C--P--D--C^^D--A); filldraw(A--P--B--cycle, gray, black); label("$A$", A, SE); label("$B$", B, NE); label("$C$", C, NW); label("$D$", D, SW); label("$P$", P, N); label("$13\sqrt{3}$", A--D, S); label("$12\sqrt{3}$", A--B, E);[/asy]

15 Encuentra $ax^5 + by^5$ si los números reales $a$, $b$, $x$ y $y$ satisfacen las ecuaciones \begin{eqnarray*} ax + by &=& 3, \\ ax^2 + by^2 &=& 7, \\ ax^3 + by^3 &=& 16, \\ ax^4 + by^4 &=& 42. \end{eqnarray*}

2 Se marcan diez puntos sobre una circunferencia. ¿Cuántos polígonos convexos distintos de tres o más lados se pueden dibujar usando algunos (o todos) de los diez puntos como vértices?

3 Supón que \( n \) es un entero positivo y \( d \) es un solo dígito en base 10. Encuentra \( n \) si \[ \frac{n}{810}=0.d25d25d25\ldots \]

4 Si $a<b<c<d<e$ son enteros positivos consecutivos tales que $b+c+d$ es un cuadrado perfecto y $a+b+c+d+e$ es un cubo perfecto, ¿cuál es el menor valor posible de $c$?

5 Cuando se lanza una moneda sesgada cinco veces, la probabilidad de obtener caras exactamente una vez no es igual a $0$ y es la misma que la de obtener caras exactamente dos veces. Sea $\frac ij$, en términos reducidos, la probabilidad de que la moneda salga caras en exactamente $3$ de $5$ lanzamientos. Encuentra $i+j$.

1 Calcula $\sqrt{(31)(30)(29)(28)+1}$ .

15 puntos. El punto $P$ está dentro del triángulo $ABC$. Se trazan los segmentos $APD$, $BPE$ y $CPF$ con $D$ sobre $BC$, $E$ sobre $AC$ y $F$ sobre $AB$ (mira la figura a la derecha). Dado que $AP=6$, $BP=9$, $PD=6$, $PE=3$ y $CF=20$, encuentra el área del triángulo $ABC$.