Sea $ABCDEF$ un hexágono regular de lado $2$ . Construyamos paralelas a sus lados que pasan por sus vértices y puntos medios, las cuales dividen el hexágono en $24$ triángulos equiláteros congruentes, cuyos vértices se llaman nodos. Para cada nodo $X$ , definimos su trío como la figura formada por tres triángulos adyacentes con vértice $X$ , tales que su intersección es únicamente $X$ y no son congruentes por pares. a) Determine el área máxima posible de un trío. b) Muestre que existe un nodo cuyos tríos pueden cubrir todo el hexágono, y un nodo cuyos tríos no pueden cubrir todo el hexágono. c) Determine el número total de triángulos asociados con el hexágono.

25. Demuestra que toda partición del espacio tridimensional en tres subconjuntos disjuntos tiene la siguiente propiedad: uno de estos subconjuntos contiene todas las distancias posibles; es decir, para cada $a \in \mathbb R^+$, existen puntos $M$ y $N$ dentro de ese subconjunto tales que la distancia entre $M$ y $N$ es exactamente $a.$ Amir

2 Si $n$ es un entero positivo y $a, b$ son enteros positivos relativamente primos, calcule $(a + b,a^n + b^n)$ .

Sea $A$ el número de maneras en que el conjunto $\{ 1, 2, . . . , n\}$ puede particionarse en subconjuntos no vacíos. Sea $B$ el número de maneras en que el conjunto $\{ 1, 2, . . . , n, n + 1 \}$ puede particionarse en subconjuntos no vacíos tales que los números consecutivos pertenezcan a subconjuntos distintos. Las particiones que difieren solo en el orden de los subconjuntos se consideran iguales. Demuestre que $A = B$ .

2012 g5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo con lados opuestos no paralelos tal que $AC$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita de $ABCD$ . Las rectas $AB$ y $CD$ se encuentran en $S$ . Las rectas $BC$ y $DA$ se encuentran en $T$ . La bisectriz interna de $\angle BSC$ se encuentra con $BC$ y $DA$ en $F$ y $H$ , respectivamente. La bisectriz interna de $\angle CTD$ se encuentra con $CD$ y $AB$ en $G$ y $E$ , respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $\vartriangle BEF$ y $\vartriangle DGH$ son tangentes.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $BC > AB$ , tal que los puntos $A$ , $H$ , $I$ y $C$ son concíclicos (donde $H$ es el ortocentro e $I$ es el incentro del triángulo $ABC$ ) . La recta $AC$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$ en el punto $T$ , y la recta $BC$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $AHC$ en el punto $P$ . Si las rectas $PT$ y $HI$ son paralelas, determine las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$ .

Sea un cubo $3 \times 3 \times 3$ formado por $27$ cubos unitarios. En cada uno de estos cubos está escrito un entero positivo. Llame $\textit {strip}$ a un bloque $1 \times 1 \times 3$ de $3$ cubos. Los números están escritos de modo que para cada cubo, su número es la suma de otros tres números, uno de cada una de las tres tiras en las que se encuentra. Demuestre que hay al menos $16$ números que son a lo sumo $60$ .

15 Un cuadrado de papel tiene lados de longitud $ 100$ . De cada esquina se corta una cuña de la siguiente manera: en cada esquina, los dos cortes de la cuña comienzan cada uno a distancia $ \sqrt {17}$ de la esquina, y se encuentran en la diagonal con un ángulo de $ 60^\circ$ (ver la figura de abajo). Luego el papel se dobla hacia arriba a lo largo de las líneas que unen los vértices de cortes adyacentes. Cuando los dos bordes de un corte se encuentran, se pegan con cinta. El resultado es una bandeja de papel cuyos lados no están en ángulo recto con la base. La altura de la bandeja, es decir, la distancia perpendicular entre el plano de la base y el plano formado por los bordes superiores, se puede escribir en la forma $ \sqrt [n]{m}$ , donde $ m$ y $ n$ son enteros positivos, $ m < 1000$ , y $ m$ no es divisible por la $ n$ -ésima potencia de ningún primo. Encuentra $ m + n$ . [asy]import math; unitsize(5mm); defaultpen(fontsize(9pt)+Helvetica()+linewidth(0.7)); pair O=(0,0); pair A=(0,sqrt(17)); pair B=(sqrt(17),0); pair C=shift(sqrt(17),0)*(sqrt(34)*dir(75)); pair D=(xpart(C),8); pair E=(8,ypart(C)); draw(O--(0,8)); draw(O--(8,0)); draw(O--C); draw(A--C--B); draw(D--C--E); label("$\sqrt{17}$",(0,2),W); label("$\sqrt{17}$",(2,0),S); label("cut",midpoint(A--C),NNW); label("cut",midpoint(B--C),ESE); label("fold",midpoint(C--D),W); label("fold",midpoint(C--E),S); label("$30^\circ$",shift(-0.6,-0.6)*C,WSW); label("$30^\circ$",shift(-1.2,-1.2)*C,SSE);[/asy]

9.5 El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en la parábola $y=x^2$ . Se sabe que el ángulo $BAD=90$ , la diagonal $AC$ es paralela al eje $Ox$ y $AC$ es la bisectriz del ángulo BAD. Halle el área del cuadrilátero $ABCD$ si la longitud de la diagonal $BD$ es igual a $p$ .

12 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2=3. $ Demuestre que $$\frac{a^4+3ab^3}{a^3+2b^3}+\frac{b^4+3bc^3}{b^3+2c^3}+\frac{c^4+3ca^3}{c^3+2a^3}\leq4.$$