A7 Cada miembro de un conjunto de circunferencias en el plano $xy$ es tangente al eje $x$ y no hay dos circunferencias que se intersecten. Demuestra que (a) los puntos de tangencia pueden incluir todos los puntos racionales del eje. (b) los puntos de tangencia no pueden incluir todos los puntos irracionales.

A6 Sea $a>0$, $S_1 = \ln a$ y $S_n = \sum_{i=1}^{n-1} \ln(a - S_i)$ para $n > 1$. Demuestra que $$ \lim_{n \to \infty} S_n = a-1. $$

5 Halle todas las ternas de números reales $(x, y, z)$ que satisfacen el sistema de ecuaciones $$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}$$ $$x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx + 4$$

B6 La curva $y=y(x)$ satisface $y'(0)=1.$ Satisface la ecuación diferencial $(x^2 +9)y'' +(x^2 +4)y=0.$ Demuestra que cruza el eje $x$ entre $$x= \frac{3}{2} \pi \;\;\; \text{y} \;\;\; x= \sqrt{\frac{63}{53}} \pi.$$

B7 Sea $C$ un polígono regular junto con su interior. Demuestra que para cada entero positivo $n$, existe un conjunto de puntos $S(n)$ en el plano tal que cualesquiera $n$ puntos pueden ser cubiertos por $C$, pero $S(n)$ no puede ser cubierto por $C$.

3 Halle el número de pares $(a, b)$ de enteros positivos con la propiedad de que el máximo común divisor de $a$ y $ b$ es igual a $1\cdot 2 \cdot 3\cdot ... \cdot50$ , y el mínimo común múltiplo de $a$ y $ b$ es $1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2\cdot ... \cdot 50^2$ .

6 Sea $s (n)$ la suma de las cifras de un entero positivo $n$ . Usando seis cifras distintas, formamos tres números de 2 cifras $p, q, r$ tales que $$p \cdot q \cdot s(r) = p\cdot s(q) \cdot r = s (p) \cdot q \cdot r.$$ Halle todos los números $p, q, r$ de este tipo.

15 Sean $A_1$ y $B_1$ puntos interiores que se encuentran sobre los lados $BC$ y $AC$ del triángulo $ABC$ respectivamente, y los segmentos $AA_1$ y $BB_1$ se cortan en $O$ . Las áreas de los triángulos $AOB_1,AOB$ y $BOA_1$ son números primos distintos y el área del cuadrilátero $A_1OB_1C$ es un entero. Halle el menor valor posible del área del triángulo $ABC$ , y justifique la existencia de tal triángulo.

2 Sea $M$ un punto interior a un triángulo $ABC$ . Las rectas $AM , BM , CM$ intersecan a $BC, CA, AB$ en $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ , respectivamente. Suponga que $S_{MAC_{1}}+S_{MBA_{1}}+S_{MCB_{1}}= S_{MA_{1}C}+S_{MB_{1}A}+S_{MC_{1}B}$ . Demuestre que una de las rectas $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ es una mediana del triángulo $ABC.$ N.T.TUAN

3 Sea $n$ un entero positivo. Muestre que existen tres enteros distintos entre $n^{2}$ y $n^{2}+n+3\sqrt{n}$ , tales que uno de ellos divide al producto de los otros dos. N.T.TUAN