1 Halle todos los números naturales $n>3$ tales que $2^{2000}$ es divisible por $1+C^1_n+C^2_n+C^3_n$ .

3 Sea $S=\{1,2,\ldots ,98\}$ . Halle el menor número natural $n$ tal que podamos escoger $10$ números en cualquier subconjunto de $n$ elementos de $S$ que satisfagan la siguiente condición: no importa cómo dividamos en partes iguales los $10$ números en dos grupos, existe un número en un grupo tal que es coprimo con los demás números de ese grupo, y al mismo tiempo también existe un número en el otro grupo tal que no es coprimo con ninguno de los demás números del mismo grupo.

1 Sean $a_1,a_2,\cdots ,a_n; b_1,b_2,\cdots ,b_n (n\ge 3)$ números reales que satisfacen las siguientes condiciones: (1) $a_1+a_2+\cdots +a_n= b_1+b_2+\cdots +b_n $ ; (2) $0<a_1=a_2, a_i+a_{i+1}=a_{i+2}$ ( $i=1,2,\cdots ,n-2$ ) ; (3) $0<b_1\le b_2, b_i+b_{i+1}\le b_{i+2}$ ( $i=1,2,\cdots ,n-2$ ) . Demuestre que $a_{n-1}+a_n\le b_{n-1}+b_n$ .

2 Sea $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ una función que satisface las siguientes condiciones: (1) $f(1)=1$ ; (2) $\forall n\in \mathbb{N}$ , $3f(n) f(2n+1) =f(2n) ( 1+3f(n) )$ ; (3) $\forall n\in \mathbb{N}$ , $f(2n) < 6 f(n)$ . Halle todas las soluciones de la ecuación $f(k) +f(l)=293$ , donde $k<l$ . ( $\mathbb{N}$ denota el conjunto de todos los números naturales).

3 Halle el valor mínimo de $\sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} \sum_{k=1}^{10}|k(x+y-10i)(3x-6y-36j)(19x+95y-95k)|$ , donde $x,y$ son enteros.

1 Dadas cuatro esferas con radios iguales a $2,2,3,3$ respectivamente, cada esfera toca externamente a las demás. Suponga que hay otra esfera que es tangente externamente a esas cuatro esferas; determine el radio de esta esfera.

2 Sean $a_1,a_2,\cdots ,a_{10}$ números naturales distintos dos a dos con suma igual a 1995. Halle el valor mínimo de $a_1a_2+a_2a_3+\cdots +a_9a_{10}+a_{10}a_1$ .

3 Sea $n(n>1)$ un número impar. Definimos $x_k=(x^{(k)}_1,x^{(k)}_2,\cdots ,x^{(k)}_n)$ de la siguiente manera: $x_0=(x^{(0)}_1,x^{(0)}_2,\cdots ,x^{(0)}_n)=(1,0,\cdots ,0,1)$ ; $ x^{(k)}_i =\begin{cases}0, \quad x^{(k-1)}_i=x^{(k-1)}_{i+1},\\ 1, \quad x^{(k-1)}_i\not= x^{(k-1)}_{i+1},\end{cases} $ $i=1,2,\cdots ,n$ , donde $x^{(k-1)}_{n+1}= x^{(k-1)}_1$ . Sea $m$ un entero positivo que satisface $x_0=x_m$ . Demuestre que $m$ es divisible por $n$ .

1 Sea $ABCD$ un trapecio con $AB\parallel CD$ . Los puntos $E,F$ están sobre los segmentos $AB,CD$ respectivamente. Los segmentos $CE,BF$ se cortan en $H$ , y los segmentos $ED,AF$ se cortan en $G$ . Demuestre que $S_{EHFG}\le \dfrac{1}{4}S_{ABCD}$ . Determine, con demostración, si la conclusión sigue siendo válida cuando $ABCD$ es simplemente un cuadrilátero convexo cualquiera.

3 Halle todas las funciones $f:[1,\infty )\rightarrow [1,\infty)$ que satisfacen las siguientes condiciones: (1) $f(x)\le 2(x+1)$ ; (2) $f(x+1)=\dfrac{1}{x}[(f(x))^2-1]$ .