5 Demuestre que para todo $ x $ tal que $ \sin x \neq 0 $ , existe un natural $ n $ tal que $ | \sin nx | \geq \frac {\sqrt {3}} {2} $ .

6 Por el punto de intersección de las alturas del triángulo acutángulo $ ABC $ pasan tres circunferencias, cada una de las cuales es tangente a uno de los lados del triángulo en el pie de la altura. Demuestre que los segundos puntos de intersección de las circunferencias son los vértices de un triángulo semejante al original.

8 Un poliedro convexo tiene $2n$ caras ( $n\geqslant3$ ) , y todas sus caras son triángulos. ¿Cuál es el número máximo posible de vértices en los que concurren exactamente tres aristas?

2 El producto de los trinomios cuadrados $ x ^ 2 + a_1x + b_1 $ , $ x ^ 2 + a_2x + b_2 $ , $ \dots $ , $ x ^ 2 + a_n x + b_n $ es igual al polinomio $ P (x) = x ^ {2n} + c_1x ^ {2n-1} + c_2x ^ {2n-2} + \dots + c_ {2n-1} x + c_ {2n} $ , donde los coeficientes $ c_1 $ , $ c_2 $ , $ \dots $ , $ c_ {2n} $ son positivos. Demuestre que para algún $ k $ ( $ 1 \leq k \leq n $ ) los coeficientes $ a_k $ y $ b_k $ son positivos.

8 ¿Cuál es el número mínimo de casillas que se pueden colorear de negro en un cuadrado blanco de $ 300 \times 300 $ de modo que tres casillas negras cualesquiera no formen una esquina, y que después de pintar cualquier casilla blanca esta condición se viole?

6 En el tetraedro $ ABCD $ , desde el vértice $ A $ se trazan las perpendiculares $ AB '$ , $ AC' $ , $ AD '$ a los planos que dividen por la mitad los ángulos diedros en las aristas $ CD $ , $ BD $ , $ BC $ . Demuestre que el plano $ (B'C'D ') $ es paralelo al plano $ (BCD) $ .

4 La bisectriz del ángulo $ A $ del triángulo $ ABC $ interseca al lado $ BC $ en el punto $ A_1 $ , y a la circunferencia circunscrita en $ A_0 $ . Los puntos $ C_1 $ y $ C_0 $ se definen de manera análoga. Las rectas $ A_0C_0 $ y $ A_1C_1 $ se intersecan en el punto $ P $ . Demuestre que $ PI $ es paralela al lado $ AC $ , donde $ I $ es el centro de la circunferencia inscrita.

7 Demuestre que si un número natural $ N $ puede representarse en la forma de la suma de tres cuadrados de enteros divisibles por $3$ , entonces también se representa como la suma de tres cuadrados de enteros que no son divisibles por $3$ .

3 El torneo de carreras tiene $12$ etapas y $ n $ participantes. Después de cada etapa, todos los participantes, según el lugar ocupado $ k $ , reciben puntos $ a_k $ (los números $ a_k $ son naturales y $ a_1> a_2> \dots> a_n $ ) . ¿Cuál es el menor $ n $ para el cual el organizador del torneo puede elegir los números $ a_1 $ , $ \dots $ , $ a_n $ de modo que, después de la penúltima etapa, para cualquier distribución posible de los lugares, al menos dos participantes tengan la oportunidad de quedar en primer lugar?

1 ¿Existe una solución en números reales del sistema de ecuaciones \[\left\{ \begin{array}{rcl} (x - y)(z - t)(z - x)(z - t)^2 = A, \\ (y - z)(t - x)(t - y)(x - z)^2 = B,\\ (x - z)(y - t)(z - t)(y - z)^2 = C,\\ \end{array} \right.\] cuando a) $A=2, B=8, C=6;$ b) $A=2, B=6, C=8.$ ?