Sea $\mathcal M_n(\mathbb R)$ el conjunto de todas las matrices reales $n\times n$ . Halle todas las funciones sobreyectivas $f:\mathcal M_n(\mathbb R)\to\{0,1,\ldots,n\}$ que satisfacen $$f(XY)\le\min\{f(X),f(Y)\}$$ para todas las $X,Y\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ .

Sea $P_0,P_1,P_2,\ldots$ una sucesión de polígonos convexos tal que, para cada $k\ge0$ , los vértices de $P_{k+1}$ son los puntos medios de todos los lados de $P_k$ . Demuestre que existe un único punto que se encuentra en el interior de todos estos polígonos.

Halle todos los números de tres cifras tales que, al dividirlos por $11$ , el cociente es igual a la suma de los cuadrados de sus cifras.

Sean $a_1,b_1,c_1$ tres rectas tales que cada dos de ellas se cruzan mutuamente y no son paralelas a un mismo plano. Las rectas $a_2,b_2,c_2$ intersecan las rectas $a_1,b_1,c_1$ en los puntos $a_2$ en $A$ , $C_2$ , $B_1$ ; $b_2$ en $C_1$ , $B$ , $A_2$ ; $c_2$ en $B_2$ , $A_1$ , $C$ respectivamente, de tal manera que $A$ es la mediatriz de $B_1C_2$ , $B$ es la mediatriz de $C_1A_2$ y $C$ es la mediatriz de $A_1B_2$ . Demuestre que: (a) $A$ es la mediatriz de $B_2C_1$ , $B$ es la mediatriz de $C_2A_1$ y $C$ es la mediatriz de $A_2B_1$ ; (b) los triángulos $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ son iguales.

Se da la expresión $y=\frac{x^2-2x+1}{x^2-2x+2}$ , donde $x$ es una variable. Demuestre que: (a) si $x_1$ y $x_2$ son dos valores de $x$ , e $y_1$ y $y_2$ son los valores respectivos de $y$ , entonces si $x_1<x_2$ , $y_1<y_2$ ; (b) cuando $x$ varía, $y$ alcanza todos los valores posibles para los cuales $0\le y<1$ .

En el trapecio $ABCD$ se elige un punto $M$ sobre el lado no paralelo $AB$ . Por los puntos $M,A,D$ y $M,B,C$ se trazan las circunferencias $k_1$ y $k_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ . Demuestre que: (a) el segundo punto de intersección $N$ de $k_1$ y $k_2$ se encuentra sobre el otro lado no paralelo $CD$ o sobre su prolongación; (b) la longitud del segmento $O_1O_2$ no depende de la posición de $M$ sobre $AB$ ; (c) los triángulos $O_1MO_2$ y $DMC$ son semejantes. Halle una posición de $M$ sobre $AB$ tal que $k_1$ y $k_2$ tengan el mismo radio.

Se da la ecuación $x^2+px+1=0$ , con raíces $x_1$ y $x_2$ ; (a) halle una ecuación de segundo grado con raíces $y_1,y_2$ que satisfacen las condiciones $y_1=x_1(1-x_1)$ , $y_2=x_2(1-x_2)$ ; (b) halle todos los valores posibles del parámetro real $p$ tales que las raíces de la nueva ecuación se encuentren entre $-2$ y $1$ .

Dentro de un cuadrado considere círculos tales que la suma de sus circunferencias sea el doble del perímetro del cuadrado. a) Halle el número mínimo de círculos con esta propiedad. b) Demuestre que existen infinitas rectas que intersecan al menos 3 de estos círculos.

Denote por $\mathcal M_2(\mathbb R)$ el conjunto de todas las matrices $2\times2$ con entradas reales. Demuestre que: a) para toda $A\in\mathcal M_2(\mathbb R)$ existen $B,C\in\mathcal M_2(\mathbb R)$ tales que $A=B^2+C^2$ ; b) no existen $B,C\in\mathcal M_2(\mathbb R)$ tales que $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=B^2+C^2$ y $BC=CB$ .

Sea $A=(a_{ij})$ la matriz $n\times n$, donde $a_{ij}$ es el resto de la división de $i^j+j^i$ entre $3$ para $i,j=1,2,\ldots,n$ . Halle el mayor $n$ para el cual $\det A\ne0$ .