5 $A,B$ y $C$ son tres puntos interiores de una esfera $S$ tales que $AB$ y $AC$ son perpendiculares al diámetro de $S$ que pasa por $A$, y de modo que se pueden construir dos esferas que pasan por $A$, $B$ y $C$, ambas tangentes a $S$. Demuestra que la suma de sus radios es igual al radio de $S$.

2 Cada par de comunidades en un condado están conectadas directamente por un modo de transporte: autobús, tren o avión. Los tres métodos de transporte se usan en el condado, ninguna comunidad recibe servicio de los tres modos y no hay tres comunidades que estén conectadas por pares mediante el mismo modo. Determina el mayor número de comunidades en este condado.

2 Sea $X_r=x^r+y^r+z^r$ con $x,y,z$ reales. Se sabe que si $S_1=0$, \[(*)\quad\frac{S_{m+n}}{m+n}=\frac{S_m}{m}\frac{S_n}{n}\] para $(m,n)=(2,3),(3,2),(2,5)$, o $(5,2)$. Determina todos los otros pares de enteros $(m,n)$, si los hay, para los cuales $(*)$ se cumple para todos los números reales $x,y,z$ tales que $x+y+z=0$.

3 Las alturas $ A {{A} _ {1}} $ , $ B {{B} _ {1}} $ y $ C {{C} _ {1}} $ se trazan en el triángulo acutángulo $ ABC $ . A la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC $ se le trazan las tangentes en los puntos $ A $ y $ C $ , que se intersecan en el punto $ Q $ . Una recta que pasa por el punto medio del lado $ AC $ y por el ortocentro del triángulo $ ABC $ interseca a la recta $ {{A}_{1}} {{C} _ {1}} $ en el punto $ F $ . Demuestre que los puntos $ Q $ , $ {{B} _ {1}} $ y $ F $ están sobre la misma recta.

1 Una sucesión $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ está definida por $x_{n+2}=x_{n}-\frac{1}{x_{n+1}}$ , con valores iniciales $x_{1}=20$ y $x_{2}=13$ . ¿Existe un entero positivo $N$ tal que $x_{N}=0$ ?

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo (con $AB<AC<BC$ ) inscrito en la circunferencia $c(O,R)$ (con centro $O$ y radio $R$ ) . La circunferencia $c_1(A,AB)$ (con centro $A$ y radio $AB$ ) interseca el lado $BC$ en el punto $D$ y la circunferencia circunscrita $c(O,R)$ en el punto $E$ . Demuestre que el lado $AC$ biseca el ángulo $\angle DAE$ .

1 Sea $ M = \{ x_1..., x_{30}\}$ un conjunto formado por 30 números positivos distintos, y sea $ A_n,$ $ 1 \leq n \leq 30,$ la suma de todos los productos posibles de $ n$ elementos cada uno del conjunto $ M.$ Demuestre que si $ A_{15} > A_{10},$ entonces $ A_1 > 1.$

5 Si $x$ es un número real positivo, y $n$ es un entero positivo, demuestra que \[[ nx] > \frac{[ x]}1 + \frac{[ 2x]}2 +\frac{[ 3x]}3 + \cdots + \frac{[ nx]}n,\] donde $[t]$ denota el mayor entero menor o igual que $t$ . Por ejemplo, $[ \pi] = 3$ y $\left[\sqrt2\right] = 1$ . Teorema del binomio

1 Una balanza de dos platillos es inexacta porque sus brazos tienen longitudes diferentes y sus platillos tienen pesos distintos. Tres objetos de pesos diferentes $A$, $B$ y $C$ se pesan cada uno por separado. Cuando se colocan en el platillo izquierdo, se equilibran con los pesos $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. Cuando $A$ y $B$ se colocan en el platillo derecho, se equilibran con $A_2$ y $B_2$, respectivamente. Determina el peso verdadero de $C$ en términos de $A_1$, $B_1$, $C_1$, $A_2$ y $B_2$.

3 Sea $F_r=x^r\sin{rA}+y^r\sin{rB}+z^r\sin{rC}$, donde $x,y,z,A,B,C$ son reales y $A+B+C$ es un múltiplo entero de $\pi$. Demuestra que si $F_1=F_2=0$, entonces $F_r=0$ para todo $r$ entero positivo.