8 Sea el número $ p $ un divisor primo del número $ 2 ^ {2 ^ k} + 1 $ . Demuestre que $ p-1 $ es divisible por $ 2 ^ {k + 1} $ .

19 Sea $f : [0, 1] \to [0, 1]$ que satisface $f(0) = 0, f(1) = 1$ y \[f(x + y) - f(x) = f(x) - f(x - y)\] para todo $x, y \geq 0$ con $x - y, x + y \in [0, 1].$ Demuestre que $f(x) = x$ para todo $x \in [0, 1].$ Amir

2 Sean $E, F$ dos puntos distintos dentro de un paralelogramo $ABCD$. Determina el número máximo posible de triángulos que tienen la misma área, con tres vértices entre los puntos $A, B, C, D, E, F$.

Una cuadrícula de celdas está embaldosada con dominós tal que cada celda está cubierta por exactamente un dominó. Se elige un subconjunto $S$ de dominós. ¿Es cierto que al menos una de las siguientes 2 afirmaciones es falsa? (1) Hay $2022$ dominós horizontales más que verticales en $S$ . (2) Las celdas cubiertas por los dominós de $S$ pueden ser embaldosadas completa y exactamente por tetrominós en forma de $L$ .

1 Demuestre que en un triángulo no equilátero, las siguientes afirmaciones son equivalentes: $(a)$ Los ángulos del triángulo están en progresión aritmética. $(b)$ La tangente común a la circunferencia de los nueve puntos y a la circunferencia inscrita es paralela a la recta de Euler.

3 Para números reales no negativos $a,$ $b$ , sea $A(a, b)$ su media aritmética y $G(a, b)$ su media geométrica. Consideramos la sucesión $\langle a_n \rangle$ con $a_0 = 0,$ $a_1 = 1$ y $a_{n+1} = A(A(a_{n-1}, a_n), G(a_{n-1}, a_n))$ para $n > 0.$ (a) Muestre que cada $a_n = b^2_n$ es el cuadrado de un número racional (con $b_n \geq 0$ ) . (b) Muestre que la desigualdad $\left|b_n - \frac{2}{3}\right| < \frac{1}{2^n}$ se cumple para todo $n > 0.$

C1 Un peón es una pieza de ajedrez que ataca las dos casillas en diagonal frente a él. ¿Cuál es el número máximo de peones que pueden colocarse en un tablero de ajedrez $n \times n$ de modo que no haya dos peones que se ataquen entre sí?

4 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que $a(n) = n^5 +5^n$ es divisible por $11$ si y solo si $b(n) = n^5 · 5^n +1$ es divisible por $11$ . (Walther Janous)

2 Sea $\mathcal{S}$ un conjunto finito no vacío de números primos. Sea $1 = b_1 < b_2 < \dots$ la sucesión de todos los enteros positivos cuyos divisores primos pertenecen todos a $\mathcal{S}$ . Demuestre que, para todos salvo un número finito de enteros positivos $n$ , existen enteros positivos $a_1, a_2, \dots, a_n$ tales que \[ \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \dots + \frac{a_n}{b_n} = \left\lceil \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_n} \right\rceil \]

C3 Odin y Evelyn están jugando un juego, empezando Odin. Inicialmente hay $3k$ cajas vacías, para algún entero positivo $k$ dado. En el turno de cada jugador, pueden escribir un entero no negativo en una caja vacía, o borrar un número en una caja y reemplazarlo por un entero no negativo estrictamente menor. Sin embargo, a Odin solo se le permite escribir números impares, y a Evelyn solo números pares. El juego termina cuando uno de los jugadores no puede moverse, en cuyo caso el otro jugador gana; o cuando hay exactamente $k$ cajas con el número $0$, en cuyo caso Evelyn gana si todas las demás cajas contienen el número $1$, y Odin gana en caso contrario. ¿Quién tiene una estrategia ganadora? $Agnijo \ Banerjee \ , United \ Kingdom$