4 Sea $ABCD$ un cuadrado con circunferencia circunscrita $\Gamma_1$ . Sea $P$ un punto en el arco $AC$ que también contiene a $B$ . Una circunferencia $\Gamma_2$ es tangente a $\Gamma_1$ en $P$ y también es tangente a la diagonal $AC$ en $Q$ . Sea $R$ un punto en $\Gamma_2$ tal que la recta $DR$ es tangente a $\Gamma_2$ . Demuestre que $|DR| = |DA|$ .

5 El polinomio $A(x) = x^2 + ax + b$ con coeficientes enteros tiene la siguiente propiedad: para cada primo $p$ existe un entero $k$ tal que $A(k)$ y $A(k + 1)$ son ambos divisibles por $p$ . Demuestre que existe un entero $m$ tal que $A(m) = A(m + 1) = 0$ .

1 Para un entero positivo $n$ sea $S(n)$ la suma de los dígitos en la representación decimal de $n$ . Cualquier entero positivo que se obtiene al eliminar varios (al menos uno) dígitos del extremo derecho de la representación decimal de $n$ se llama un muñón de $n$ . Sea $T(n)$ la suma de todos los muñones de $n$ . Demuestre que $n=S(n)+9T(n)$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo, $P$ el punto medio de $BC$ , y $Q$ un punto en el segmento $CA$ tal que $|CQ| = 2|QA|$ . Sea $S$ la intersección de $BQ$ y $AP$ . Demuestre que $|AS| = |SP|$ .

4 Halle todas las funciones $f : Z \to Z$ que satisfacen $f(m + n) + f(mn -1) = f(m)f(n) + 2$ para todos los $m, n \in Z$ .

5 Suponga que se nos da un $n$ -ágono cuyos lados tienen todos la misma longitud, y cuyos vértices tienen todos coordenadas racionales. Demuestre que $n$ es par.

1 Halle todas las funciones $f : Z_{>0} \to Z_{>0}$ que satisfacen $f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) = 3n$ para todo $n \in Z_{>0}$ .

2 Julian y Johan juegan un juego con un número par de cartas, digamos $2n$ cartas, ( $n \in Z_{>0}$ ) . Cada carta está marcada con un entero positivo. Las cartas se barajan y se colocan en una fila, de modo que los números sean visibles. Los dos jugadores se turnan para tomar cartas. Durante un turno, un jugador puede tomar la carta del extremo derecho o la del extremo izquierdo. Johan es el primer jugador en tomar una carta (lo que significa que Julian tendrá que tomar la última carta). Ahora, la puntuación de un jugador es la suma de los números de las cartas que ese jugador obtuvo durante el juego. Demuestre que Johan siempre puede obtener una puntuación al menos tan alta como la de Julian.

3 Sean $m, n$ enteros positivos. Considere una sucesión de enteros positivos $a_1, a_2, ... , a_n$ que satisface $m = a_1 \ge a_2\ge ... \ge a_n \ge 1$ . Luego defina, para $1\le i\le m$ , $b_i =$ # $\{ j \in \{1, 2, ... , n\}: a_j \ge i\}$ , de modo que $b_i$ es el número de términos $a_j $ de la sucesión dada para los cuales $a_j \ge i$ . De manera similar, definimos, para $1\le j \le n$ , $c_j=$ # $\{ i \in \{1, 2, ... , m\}: b_i \ge j\}$ , así $c_j$ es el número de términos bi en la sucesión dada para los cuales $b_i \ge j$ . Por ejemplo: si $a$ es la sucesión $5, 3, 3, 2, 1, 1$ entonces $b$ es la sucesión $6, 4, 3, 1, 1$ . (a) Demuestre que $a_j = c_j $ para $1 \le j \le n$ . (b) Demuestre que para $1\le k \le m$ : $\sum_{i=1}^{k} b_i = k \cdot b_k + \sum_{j=b_{k+1}}^{n} a_j$ .

4 Sea $n$ un entero positivo tal que $\sqrt{1 + 12n^2}$ es un entero. Demuestre que $2 + 2\sqrt{1 + 12n^2}$ es el cuadrado de un entero.