Se da un tablero de $2024 \times 2024$ . En la casilla unitaria de la esquina inferior izquierda del tablero hay una oficina de correos, mientras que en todas las demás casillas unitarias hay una casa que espera un pedido. El cartero viaja de la siguiente manera: elige una casa como destino y viaja desde la oficina de correos hasta el destino como desee, moviéndose hacia arriba o hacia la derecha en el tablero. En el camino, entrega el pedido a todas las casas de las casillas unitarias por las que pasa. Después de llegar al destino, regresa a la oficina de correos por la misma ruta. ¿Cuál es el menor número de viajes de este tipo que necesita el cartero para poder entregar el pedido a todas las casas del tablero?

3 Demuestre que las soluciones de las ecuaciones $y=x^2+ax+b$ y $x=y^2+cy+d$ pertenecen a una circunferencia.

Halle todos los números primos $p$ y $q$ tales que $p^2-pq+q^2-7$ es un número primo.

En una tienda, un artículo costaba $x$ euros . Después de que fue incrementado en $y\%$ , el precio pasó a ser $y$ euros (donde $x$ e $y$ son números naturales y $0<y<100$ ) . ¿Cuál era el precio del artículo antes y después del incremento?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AC$ y $BC$ , respectivamente. Las alturas del triángulo $ABC$ desde los vértices $A$ y $B$ intersecan la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $X$ e $Y$ , respectivamente. Demuestre que la recta que pasa por los circuncentros de los triángulos $CNX$ y $CMY$ es paralela a la recta $AB$ .

Asija compró $n$ libros en 8 librerías diferentes. Para cada dos librerías, exactamente uno de los $n$ libros se puede encontrar en ambas librerías. ¿Cuál es el valor de $n$ ?

En la siguiente figura se dan los triángulos isósceles $ABF$ y $BEC$ y el cuadrado $ABCD$ . Demuestre que los puntos $D$ , $F$ y $E$ son colineales (están en una misma recta).

2 Demuestre que para cualesquiera números reales positivos $a$ y $b$ se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{a(a+1)}{b+1}+\frac{b(b+1)}{a+1}\geq a+b.$$

Halle todas las funciones $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera números reales $x$ e $y$ se cumple lo siguiente \[f(x + yf(x) + f(y)) = xy + f(f(x)).\]

Halle todos los números reales $a$ y $b$ tales que $a^3+b^3=a+b=2$ .