Olimpiada Nacional de Bulgaria 1978 Problema 1
Se nos da la sucesión $a_1,a_2,a_3,\ldots$ , para la cual: $$a_n=\frac{a^2_{n-1}+c}{a_{n-2}}\enspace\text{for all }n>2.$$ Demuestre que los números $a_1$ , $a_2$ y $\frac{a_1^2+a_2^2+c}{a_1a_2}$ son números enteros.
Olimpiada Nacional de Bulgaria 1979 Problema 4
Para cada número real $k$ , denotemos por $f(k)$ la mayor de las dos raíces de la ecuación cuadrática $$(k^2+1)x^2+10kx-6(9k^2+1)=0.$$ Demuestre que la función $f(k)$ alcanza un mínimo y un máximo y evalúe estos dos valores.
Olimpiada Nacional de Bulgaria 1978 Problema 3
En el onomástico de un hombre hay $5$ personas. Los hombres observaron que de cualesquiera $3$ personas hay $2$ que se conocen mutuamente. Demuestre que el hombre puede ordenar a sus invitados alrededor de una mesa circular de tal manera que toda persona tenga a ambos lados personas que conoce. N. Nenov, N. Hazhiivanov
Olimpiada Nacional de Bulgaria 1978 Problema 5
Demuestre que para todo polígono convexo se pueden encontrar tres vértices consecutivos tales que la circunferencia que pasa por ellos cubre el polígono. Jordan Tabov
Olimpiada Nacional de Bulgaria 1977 Problema 2
En el espacio se dan $n$ puntos y no hay cuatro de ellos que pertenezcan a un plano común. Algunos de los puntos están conectados con segmentos. Se sabe que cuatro de los puntos dados son vértices de un tetraedro cuyas aristas pertenecen a los segmentos dados. También se sabe que el número total de segmentos que pasan por los vértices del tetraedro es $2n$ . Demuestre que existen al menos dos tetraedros cada uno de los cuales tiene una cara común con el primer tetraedro (inicial). N. Nenov, N. Hadzhiivanov
Olimpiada Nacional de Bulgaria 1977 Problema 3
Un tronco de pirámide dado tiene bases triangulares. Las áreas de las bases son $B_1$ y $B_2$ y el área de la superficie es $S$ . Demuestre que si existe un plano paralelo a las bases cuya intersección divide la pirámide en dos troncos de pirámide en los que pueden inscribirse esferas, entonces $$S=(\sqrt{B_1}+\sqrt{B_2})(\sqrt[4]{B_1}+\sqrt[4]{B_2})^2$$ G. Gantchev
Olimpiada Nacional de Bulgaria 1977 Problema 4
Los vértices $A$ y $C$ del cuadrilátero $ABCD$ son puntos fijos de la circunferencia $k$ y cada uno de los vértices $B$ y $D$ se mueve sobre uno de los arcos de $k$ con extremos $A$ y $C$ de tal manera que $BC=CD$ . Sea $M$ el punto de intersección de $AC$ y $BD$ y $F$ el centro de la circunferencia circunscrita alrededor de $\triangle ABM$ . Demuestre que el lugar geométrico de $F$ es un arco de circunferencia. J. Tabov
Olimpiada Nacional de Bulgaria 1977 Problema 6
Un triángulo pitagórico es cualquier triángulo rectángulo para el cual las longitudes de los dos catetos y la longitud de la hipotenusa son enteros. Observamos todos los triángulos pitagóricos en los que puede inscribirse un cuadrilátero con lados de longitud entera, dos de cuyos lados se encuentran sobre los catetos y uno de cuyos vértices se encuentra sobre la hipotenusa del triángulo dado. Halle las longitudes de los lados del triángulo de área mínima entre los triángulos observados. St. Doduneko
Olimpiada Nacional de Bulgaria 1976 Problema 1
En una circunferencia de radio $1$ está inscrito un hexágono (convexo). Demuestre que si el producto de todas las diagonales que conectan vértices de lados vecinos es igual a $27$ , entonces todos los ángulos del hexágono son iguales. V. Petkov, I. Tonov
Olimpiada Nacional de Bulgaria 1976 Problema 3
En el espacio se da un tetraedro con arista de longitud $2$ . Demuestre que las distancias desde algún punto $M$ a todos los vértices del tetraedro son números enteros si y solo si $M$ es un vértice del tetraedro. J. Tabov