1 Los círculos $\gamma_1$ y $\gamma_2$ son tangentes exteriormente en el punto $S$ . Sea el círculo $\omega$ tangente en los puntos $P$ y $Q$ a los círculos $\gamma_1$ y $\gamma_2$ , respectivamente. Sea $R$ el punto de intersección de la tangente común del círculo $\omega$ y los círculos $\gamma_1$ y $\gamma_2$ en el punto $S$ . Suponga además que las rectas $RP$ y $RQ$ intersecan a los círculos $\gamma_1$ y $\gamma_2$ en los puntos $A$ y $B$ , y que la recta $PQ$ interseca a los círculos $\gamma_1$ y $\gamma_2$ en los puntos $C$ y $D$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $RS$ , $AC$ y $BD$ se intersecan en un único punto.

2 Para $a,b,c,d>0$ demuestre que \[\sqrt{\left(a+\sqrt{\dfrac{bcd}{a}}\right)\left(b+\sqrt{\dfrac{acd}{b}}\right)\left(c+\sqrt{\dfrac{abd}{c}}\right)\left(d+\sqrt{\dfrac{abc}{d}}\right)}+{}\] \[{}+2\sqrt{abcd}\geqslant ab+bc+cd+da+ac+bd\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

3 Llamemos potencia perfecta a los números naturales escritos en la forma $a^n$ , con $n>1$ , $a, n\in\mathbb N$ . a) Demuestre que existen $2010$ números naturales cuya suma no es una potencia perfecta. b) Demuestre que existen $2010$ números naturales cuya suma es una potencia perfecta.

4 $P(x)$ es un polinomio mónico (el término principal tiene coeficiente $1$ ) que es indecomponible en $\mathbb Z[x]$ . Demuestre que $Q(x)$ es un polinomio indecomponible si $|P(0)|=2010$ tal que $Q(x)=P(x^{2^{2010}})$ .

5 Sea la suma de los elementos del conjunto $A$ igual a $d(A)$ . (Si $A=\varnothing$ , entonces $|A|=d(A)=0$ . ) Sea $S=\{1,2,\ldots,2013\}$ . Para $r=1,2,3,\ldots,6$ , defina \[T_r=\{T\mid T\subseteq S,\ d(T)\equiv r\pmod{7}\}\] . Entonces, para cada $r$ , halle el número de elementos de $T_r$ .

6 Sea $\omega$ la tangente al círculo $\omega$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ (que contiene a $\omega$ ) y sea $X_{AB}$ la tangente al círculo $\omega$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ (que contiene a $\omega$ ) . Análogamente, sean $X_{BC}$ , $X_{CD}$ , $X_{DA}$ (correspondientes a los lados $BC$ , $CD$ , $DA$ ). Demuestre que las bisectrices de los ángulos $\measuredangle AX_{AB}B$ , $\measuredangle BX_{BC}C$ , $\measuredangle CX_{CD}D$ y $\measuredangle DX_{DA}A$ se intersecan en un único punto.

5 Dado un polígono convexo de $2010$ lados tal que cualesquiera 3 diagonales no tienen puntos de intersección salvo los vértices. Considere líneas poligonales cerradas que tienen $2010$ diagonales (sin incluir los lados) y que pasan por cada vértice exactamente una vez. Halle el valor máximo posible del número de autointersecciones. Nótese que llamamos líneas poligonales cerradas a aquellas tales que la línea poligonal $P_1P_2\cdots P_nP_{n+1}$ tiene la propiedad $P_1=P_{n+1}.$

4 Sean $ x,\ y,\ z$ números reales positivos. Demuestre que \[ \frac {1 + yz + zx}{(1 + x + y)^2} + \frac {1 + zx + xy}{(1 + y + z)^2} + \frac {1 + xy + yz}{(1 + z + x)^2}\geq 1\]

4 Halle todas las funciones $ f : \mathbb{R} \to\mathbb{R}$ tales que $f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^2f(y)+f(y^2)$ para todo $x,y \in \mathbb{R}.$

1 Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ que es a la vez inscrito y tangencial. Sea $I$ el centro del círculo inscrito, $X$ el centro del círculo que contiene al triángulo $ABI$ , $R$ el centro del círculo que contiene al triángulo $BCI$ , $Z$ el centro del círculo que contiene al triángulo $CDI$ y $T$ el centro del círculo que contiene al triángulo $DAI$ . Demuestre que $XZ\perp RT$ .