A2 Defina la sucesión de enteros $a_1, a_2, a_3, \ldots$ mediante $a_1 = 1$ , y \[ a_{n+1} = \left(n+1-\gcd(a_n,n) \right) \times a_n \] para todos los enteros $n \ge 1$ . Demuestre que $\frac{a_{n+1}}{a_n}=n$ si y solo si $n$ es primo o $n=1$ . Aquí $\gcd(s,t)$ denota el máximo común divisor de $s$ y $t$ .

A1 Sean $a, b, c$ números reales tales que $a \neq 0$ . Considere la parábola con ecuación \[ y = ax^2 + bx + c, \] y las rectas definidas por las seis ecuaciones \begin{align*} &y = ax + b, \quad & y = bx + c, \qquad \quad & y = cx + a, \\ &y = bx + a, \quad & y = cx + b, \qquad \quad & y = ax + c. \end{align*} Suponga que la parábola interseca a cada una de estas rectas en a lo sumo un punto. Determine los valores máximo y mínimo posibles de $\frac{c}{a}$ .

. Sean $f, g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ funciones tales que $f(g(x))=g(f(x))=-x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ . 1) Demuestre que tanto $f$ como $g$ son funciones impares. 2) Dé un ejemplo de tales funciones con $f \neq g$ . P2. En un paralelogramo $ABCD$ , el ángulo $\angle B$ es obtuso. La recta $AD$ corta a la circunferencia circunscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ en un punto $E \neq A$ , y la recta $CD$ corta a $\omega$ en un punto $F \neq C$ . Demuestre que el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $DEF$ está sobre $\omega$ . P3. Demuestre que existe un número natural $n>1$ tal que el producto de algunos $n$ números naturales consecutivos es igual al producto de algunos $n+100$ números naturales consecutivos. P4. Demuestre que $x\cos x\leqslant\frac{\pi^{2}}{16}$ para todo $x$ con $0 \leqslant x\leqslant\frac{\pi}{2}$ . P5. Un número natural $m$ satisface que la suma de las cifras de la representación decimal de $8^{m}$ es igual a $8$ . ¿Puede la última cifra de $8^{m}$ ser igual a $6$ ? P6. Se dan dos conjuntos: $A=\{x\in\mathbb{R}\mid3^{x}=x+2\}$ y $B=\{x\in\mathbb{R}\mid \log_{3}(x+2)+\log_{2}(3^{x}-x)=3^{x}-1\}$ . Demuestre que $A \subset B$ y que el conjunto $B$ contiene tanto números racionales como irracionales.

2 Determine todas las ternas de primos $(a, b, c)$ que satisfacen la igualdad $a^2+ab+b^2=c^2+3$ .

1 Determine si existe un número natural $n$ para el cual $8^n + 47$ es primo.

1 Considere un polinomio $P(x) = \prod^9_{j=1}(x+d_j),$ donde $d_1, d_2, \ldots d_9$ son nueve enteros distintos. Demuestre que existe un entero $N,$ tal que para todos los enteros $x \geq N$ el número $P(x)$ es divisible por un número primo mayor que 20. Propuesto por Luxemburgo

4 Halle todas las funciones $f: \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ tales que para todos los enteros $x$ e $y$ , el número $$f(x)^2+2xf(y)+y^2$$ sea un cuadrado perfecto. Propuesto por Barış Koyuncu

4 Sean $c,d \geq 2$ naturales. Sea $\{a_n\}$ la sucesión que satisface $a_1 = c, a_{n+1} = a_n^d + c$ para $n = 1,2,\cdots$ . Demuestre que para cualquier $n \geq 2$ , existe un número primo $p$ tal que $p|a_n$ y $p \not | a_i$ para $i = 1,2,\cdots n-1$ .

Sean los puntos $A,B,C$ sobre una recta en este orden. $AB$ es el diámetro de la semicircunferencia $\omega_1$ y $AC$ es el diámetro de la semicircunferencia $\omega_2$ . Suponga que tanto $\omega_1$ como $\omega_2$ están del mismo lado de $AC$ . $D$ es un punto de $\omega_2$ tal que $BD\perp AC$ . Una circunferencia con centro en $B$ y radio $BD$ interseca a $\omega_1$ en $E$ . $F$ está sobre $AC$ tal que $EF\perp AC$ . Demuestre que $BC=BF$ .

Un triángulo acutángulo $ABC$ satisface $\overline{BC} > \overline{CA}> \overline{AB}$ . Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y sea $\omega$ la circunferencia inscrita de $ABC$ . Sean $D$ , $E$ y $F$ los puntos donde $\omega$ es tangente a $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. $P$ es la intersección de las rectas $AD$ y $BE$ . Cuando $\ell_1$ es una recta que pasa por $D$ y es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $DIP$ , $\ell_2$ es una recta que pasa por $E$ y es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $EIP$ , y $\ell_3$ es una recta que pasa por $F$ y es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $FIP$ , demuestre que las tres rectas $\ell_1$ , $\ell_2$ y $\ell_3$ son concurrentes.