40 Los colonizadores de un planeta esférico han decidido construir $N$ ciudades, cada una con un área igual a $1/1000$ del área total del planeta. También decidieron que cualesquiera dos puntos pertenecientes a ciudades distintas tendrán latitud distinta y longitud distinta. ¿Cuál es el valor máximo de $N$ ? Amir

48 Halle todas las funciones $f : \mathbb R^+ \to \mathbb R$ que satisfacen la identidad \[f(x)f(y)=y^{\alpha}f\left(\frac x2 \right) + x^{\beta} f\left(\frac y2 \right) \qquad \forall x,y \in \mathbb R^+\] donde $\alpha,\beta$ son números reales dados. Amir

42 En un triángulo $ ABC,$ sean $ D$ y $ E$ las intersecciones de las bisectrices de $ \angle ABC$ y $ \angle ACB$ con los lados $ AC,AB,$ respectivamente. Determine los ángulos $ \angle A,\angle B, \angle C$ si $ \angle BDE = 24 ^{\circ},$ $ \angle CED = 18 ^{\circ}.$

38 Sea $\,S\,$ un conjunto finito de puntos en el espacio tridimensional. Sean $\,S_{x},\,S_{y},\,S_{z}\,$ los conjuntos formados por las proyecciones ortogonales de los puntos de $\,S\,$ sobre el plano $yz$ , el plano $zx$ y el plano $xy$ , respectivamente. Demuestre que \[ \vert S\vert^{2}\leq \vert S_{x} \vert \cdot \vert S_{y} \vert \cdot \vert S_{z} \vert, \] donde $\vert A \vert$ denota el número de elementos del conjunto finito $A$ . Nota: La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular trazada desde ese punto al plano.

A2 Sean $x, y,$ y $z$ números reales positivos tales que $xy + yz + zx = 3$ . Demuestre que $$\frac{x + 3}{y + z} + \frac{y + 3}{z + x} + \frac{z + 3}{x + y} + 3 \ge 27 \cdot \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^2}{(x + y + z)^3}.$$ Propuesto por Petar Filipovski, Macedonia

2020.3 João tiene un terreno triangular, representado en la figura de abajo, cuyos lados miden $5$, $5$ y $6$ metros. El terreno está dividido en dos triángulos rectángulos: una piscina azul y un área verde de césped. ¿Cuál es el área de la piscina?

43 Halle el número de enteros positivos $n$ que satisfacen $\phi(n) | n$ y tales que \[\sum_{m=1}^{\infty} \left( \left[ \frac nm \right] - \left[\frac{n-1}{m} \right] \right) = 1992\] ¿Cuál es el mayor de ellos? Como es usual, $\phi(n)$ es el número de enteros positivos menores o iguales que $n$ y relativamente primos con $n.$ Amir

3 Se da un triángulo $ABC$ y $M$ es el punto medio del arco menor $BC$ . Sea $M_1$ el reflejo de $M$ con respecto al lado $BC$ . Demuestre que el círculo de los nueve puntos biseca a $AM_1$ .

45 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que el número de maneras de expresar $n$ como suma de enteros positivos distintos (sin importar el orden) y el número de maneras de expresar $n$ como suma de enteros positivos impares (sin importar el orden) son iguales. Amir

46 Demuestre que la sucesión $5, 12, 19, 26, 33,\cdots $ no contiene ningún término de la forma $2^n -1.$ Amir