4 Halle todas aquellas ternas $(x, y, z)$ de números naturales $x, y$ y $z$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: $$x + 2y^2 - 3z = 17 $$ $$x^2 - 3y + 2z = 9 $$

2011.4.2 Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$, $H$ el ortocentro de este triángulo, y $D$ el pie de la altura desde $C$. Sea la perpendicular a $OD$ en el punto $D$ la que interseca al lado $BC$ en el punto $E$. Sea la circunferencia circunscrita del triángulo $BCH$ la que interseca a la recta $AB$ en los puntos $B$ y $F$. Demuestra que los puntos $E$, $F$ y $H$ están sobre la misma recta.

6A Dos urnas, $A$ y $B$ , contienen exactamente $m$ bolas rojas y exactamente $n$ bolas azules. El número total de bolas es mayor que $2$ ; al menos una de las bolas es roja. Inicialmente, $A$ contiene todas las bolas rojas y $B$ contiene todas las bolas azules. Tomando alternadamente una bola seleccionada al azar de $A$ y de $B$ y colocándola en la otra urna, las bolas deben mezclarse. El proceso comienza tomando una bola de la urna $A$ . Halle todos aquellos pares $(m, n)$ de números $m$ y $n$ tales que, dada la selección inicial, la cuarta bola extraída sea roja con probabilidad $1/2$ . Nota: Si una urna contiene exactamente $Z$ bolas, entonces la selección aleatoria de una bola se entiende aquí como que la probabilidad de seleccionar cualquiera de las $Z$ bolas es igual a $1/2$ . Si, más generalmente, de $M$ eventos posibles $G$ se consideran favorables y $M- G$ desfavorables, y todos los $M$ eventos son igualmente probables, entonces la probabilidad de que ocurra un evento favorable es igual a $G/M$ .

6B Para todo número natural $n$ con $n > 1$ , halle todas aquellas funciones $f$ que satisfacen las siguientes condiciones: (1) La función $f$ está definida para todos los números reales $x$ . (2) La función $f$ es continua en $x = 0$ . (3) Para todo número real $x$ , $$n \cdot f(nx) = f(x) + nx.$$

4 Para abrir una caja fuerte, debe ajustarse una combinación desconocida de tres dígitos ( $a_1, a_2, a_3$ ), donde los tres números pueden ajustarse independientemente entre sí y cada uno de los tres números tiene exactamente $ 8$ valores posibles. Debido a un defecto, sin embargo, la caja fuerte siempre se abre precisamente cuando una combinación ajustada ( $k_1, k_2, k_3$ ) cumple al menos dos de las tres condiciones $k_i = a_i$ ( $i = 1, 2, 3$ ) . Determine el menor número $N$ para el cual existen $N$ combinaciones con las que, al probar la caja fuerte en todos los casos (es decir, para toda combinación desconocida ( $a_1, a_2, a_3$ ) ), esta se abre.

5 Para un tetraedro $ABCD$ , suponga que el centro $M$ de la esfera circunscrita del tetraedro se encuentra en el interior del tetraedro. La recta que une M con cada uno de los vértices $A, B, C$ , y $D$ del tetraedro interseca la cara del tetraedro opuesta al vértice respectivo en $A'$ , $B'$ , $C'$ , y $D'$ , respectivamente. Sea $r$ el radio de la esfera circunscrita. Demuestre que de estos supuestos se sigue siempre que $$AA' + BB' + CC' + DD' \ge \frac{16}{3} r$$

6A Demuestre que para todo número natural $n > 1$ y para todo $n + 2$ números reales $p, q, a_1, a_2, ..., a_n$ que satisfacen $$0 < p \le a_i \le q \,\,\, (i = 1, 2, ..., n) \,\,\, (1)$$ se cumplen las dos desigualdades. $$n^2 \le \left( \sum^n_{i=1}a_i \right) \cdot \left( \sum^n_{k=1}\frac{1}{a_k}\right) \le n^2 + \left[\frac{n^2}{4} \right] \cdot \left(\sqrt{\frac{p}{q}} -\sqrt{\frac{q}{p}}\right)^2 \,\,\, (2)$$ Indicación: Para un número real $x$ , como es usual, $[x]$ denota el entero $[x] = g$ con $g \le x < g + 1$ . Además, para $n, p, q$ dados con $0 < p \le q$ , determine todos aquellos $a_i$ que cumplen (1) y para los cuales en (2) a) entre el primer y el segundo número, b) entre el segundo y el tercer número, se cumple el signo de igualdad.

6B Determine el mayor número posible de cuadrados de lado $1$ que pueden colocarse dentro de un cuadrado dado de lado $1.99$ sin sobresalir de su borde y sin superponerse entre sí.

1 En un plano, sea $G$ el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas cartesianas rectangulares son enteras. Además, sea $F$ el conjunto de $1988$ colores diferentes. Demuestre que para toda distribución de colores en la que cada punto de $G$ tiene exactamente uno de los colores de $F$ , existen cuatro puntos del mismo color en $G$ que son los vértices de un rectángulo con lados paralelos a los ejes.

5 Sea $(x_n)$ la sucesión de números definida por $$x_1 = 1, \,\,\, x_2 = 1, x_{n+1} = \frac{x_n + 1}{x_{n-1} + 4}$$ $(n = 2, 3, 4, ...)$ . Investigue si esta sucesión es convergente y, si lo es, determine su límite.