1 Halle todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos que satisfacen $m^2+1=n^2+2016$ .

4 El número $2015$ ha sido escrito en la pizarra. Dos amigos juegan este juego: en la pizarra escriben la diferencia entre el número que está en la pizarra y uno de sus divisores. El juego lo pierde quien llega a $0$ . ¿Cuál de los dos puede asegurar la victoria?

4 Entre todos los rectángulos con la misma diagonal $d$ , halle el de mayor área.

5 Si $a,b,c$ son los lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa $c$ , demuestre entonces que para todo entero positivo $n>2$ se tiene $c^n>a^n+b^n$ .

5 Se da un cuadrado $ABCD$ de lado 1 y una circunferencia con diámetro $AD$ . Halle el radio de la circunferencia circunscrita de esta figura.

5 En el ángulo $\angle AOB=60^{\circ}$ hay dos circunferencias que están inscritas en el ángulo y son tangentes entre sí. Si denotamos con $r$ y $R$ los radios de la circunferencia menor y de la mayor respectivamente, y si $r=1$ , halle $R$ .

4 Resuelva en números reales la ecuación $\log_{2}(4^x+4)=x+\log_{2}(2^{x+1}-3)$

1 Demuestre que: $\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt{2}+\sqrt3+\sqrt5$

2 Evalúe la suma de todos los números de tres cifras que no son divisibles por $13$ .

2 Halle todos los enteros $n$ tales que $n-5$ divide a $n^2+n-27$ .