A1 Considera $5$ puntos en el plano, tales que no hay $3$ de ellos colineales. Demuestra que existe un cuadrilátero convexo cuyos vértices son $4$ de esos puntos.

A2 Encuentra toda función real $f$ cuyo dominio es un intervalo $I$ (finito o infinito) que tenga a $0$ como extremo izquierdo, tal que para todo $x>0$ en $I$ el promedio de $f$ sobre el intervalo cerrado $[0,x]$ sea igual a $\sqrt{ f(0) f(x)}.$

A3 En un triángulo \(ABC\), sea \(A'\) un punto sobre el segmento \(BC\), \(B'\) un punto sobre el segmento \(CA\) y \(C'\) un punto sobre el segmento \(AB\) tales que \[ \frac{AB'}{B'C}= \frac{BC'}{C'A} =\frac{CA'}{A'B}=k, \] donde \(k\) es una constante positiva. Sea \(\triangle\) el triángulo formado por las intersecciones de \(AA'\), \(BB'\) y \(CC'\). Demuestra que las áreas de \(\triangle\) y \(ABC\) están en la razón \[ \frac{(k-1)^{2}}{k^2 +k+1}. \]

B1 Sea $x^{(n)}=x(x-1)\cdots (x-n+1)$ para $n$ un entero positivo y sea $x^{(0)}=1.$ Demuestra que $$(x+y)^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{(k)} y^{(n-k)}.$$

A4 Supón que $|f(x)|\leq 1$ y $|f''(x)|\leq 1$ para todo $x$ en un intervalo de longitud al menos $2.$ Demuestra que $|f'(x)|\leq 2$ en el intervalo.

A6 Sea $S$ un conjunto de números racionales tal que siempre que $a$ y $b$ sean miembros de $S$, también lo son $ab$ y $a+b$, y que tiene la propiedad de que para todo número racional $r$ exactamente una de las siguientes tres afirmaciones es verdadera: $$r\in S,\;\; -r\in S,\;\;r =0.$$ Demuestra que $S$ es el conjunto de todos los números racionales positivos.

B2 Sea $S$ el conjunto de todos los subconjuntos de los enteros positivos. Construye una función $f \colon \mathbb{R} \rightarrow S$ tal que $f(a)$ sea un subconjunto propio de $f(b)$ siempre que $a < b.$

B5 Demuestra que para todo entero $n$ mayor que $1:$ $$\frac{3n+1}{2n+2} < \left( \frac{1}{n} \right)^{n} + \left( \frac{2}{n} \right)^{n}+ \ldots+\left( \frac{n}{n} \right)^{n} <2.$$

B6 Sea $$f(x) =\sum_{k=0}^{n} a_{k} \sin kx +b_{k} \cos kx,$$ donde $a_k$ y $b_k$ son constantes. Demuestra que si $|f(x)| \leq 1$ para $x \in [0, 2 \pi]$ y existen $0\leq x_1 < x_2 <\ldots < x_{2n} < 2 \pi$ con $|f(x_i )|=1,$ entonces $f(x)= \cos(nx +a)$ para alguna constante $a.$

B4 El plano euclidiano se divide en regiones al dibujar un número finito de circunferencias. Demuestra que es posible colorear cada una de estas regiones de rojo o azul de tal manera que no haya dos regiones adyacentes con el mismo color.