51 Hay $n$ puntos sobre una hoja plana de papel, cualesquiera dos de ellos a una distancia de al menos $2$ entre sí. Un alumno distraído derrama tinta sobre una parte del papel tal que el área total de la parte dañada es igual a $\frac 32$ . Demuestre que existen dos vectores de igual longitud menor que $1$ y cuya suma tiene una dirección dada, tales que después de una traslación por cualquiera de estos dos vectores no quedan puntos del conjunto dado en el área dañada. Amir

50 Sean $m$ y $n$ números naturales con $m>n$ . Demuestre que \[2(m-n)^2(m^2-n^2+1)\ge 2m^2-2mn+1\]

49 Determine una ecuación de tercer grado con coeficientes enteros que tenga raíces $\sin \frac{\pi}{14}, \sin \frac{5 \pi}{14}$ y $\sin \frac{-3 \pi}{14}.$ Amir

2015.5 En el trapecio $[ABCD]$, los lados $[AB]$ y $[CD]$ son paralelos y tenemos $AB = 33$, $BC = 14$, $CD = 21$ y $DA = 10$. Determina $AC$.

48 Se nos dan $n$ puntos materiales de igual masa en el espacio. Definimos una sucesión de puntos $O_1,O_2,O_3,\ldots $ como sigue: $O_1$ es un punto arbitrario (a distancia unitaria de al menos uno de los $n$ puntos); $O_2$ es el centro de gravedad de todos los $n$ puntos dados que están dentro de la esfera unitaria centrada en $O_1$ ; $O_3$ es el centro de gravedad de todos los $n$ puntos dados que están dentro de la esfera unitaria centrada en $O_2$ ; etc. Demuestre que a partir de algún $m$ , todos los puntos $O_m,O_{m+1},O_{m+2},\ldots$ coinciden.

47 Dados dos puntos $A,B$ fuera de un plano dado $P,$ halle las posiciones de los puntos $M$ en el plano $P$ para las cuales la razón $\frac{MA}{MB}$ toma un mínimo o un máximo. Amir

46 En el exterior de un triángulo arbitrario $ABC$ , se construyen los triángulos $ADB$ y $BCE$ tales que $\angle ADB=\angle BEC=90^{\circ}$ y $\angle DAB=\angle EBC=30^{\circ}$ . Sobre el segmento $AC$ se elige el punto $F$ con $AF=3FC$ . Demuestre que $\angle DFE=90^{\circ}$ y $\angle FDE=30^{\circ}$ .

45 La suma de los cuadrados de cinco números reales $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ es igual a $1$ . Demuestre que el menor de los números $(a_i - a_j)^2$ , donde $i, j = 1, 2, 3, 4,5$ y $i \neq j$ , no excede $\frac{1}{10}.$ Amir

44 Se nos dan $n$ puntos materiales de igual masa en el espacio. Definimos una sucesión de puntos $O_1,O_2,O_3,\ldots $ como sigue: $O_1$ es un punto arbitrario (a distancia unitaria de al menos uno de los $n$ puntos); $O_2$ es el centro de gravedad de todos los $n$ puntos dados que están dentro de la esfera unitaria centrada en $O_1$ ; $O_3$ es el centro de gravedad de todos los $n$ puntos dados que están dentro de la esfera unitaria centrada en $O_2$ ; etc. Demuestre que a partir de algún $m$ , todos los puntos $O_m,O_{m+1},O_{m+2},\ldots$ coinciden.

43 Se da una matriz de ceros y unos de $(n^2+n+1) \times (n^2+n+1)$ . Si no hay cuatro unos que sean vértices de un rectángulo, demuestre que el número de unos no excede $(n + 1)(n^2 + n + 1).$ Amir