5 Determine todos los números de cuatro dígitos $\overline{abcd} $ tales que $(a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d) =\overline{abcd} $ :

7 En el triángulo acutángulo $ABC$ , el punto $F$ es el pie de la altura desde $A$ , y $P$ es un punto del segmento $AF$ . Las rectas que pasan por $P$ paralelas a $AC$ y $AB$ cortan a $BC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Los puntos $X \ne A$ y $Y \ne A$ están en las circunferencias $ABD$ y $ACE$ , respectivamente, tales que $DA = DX$ y $EA = EY$ . Demuestre que $B, C, X,$ y $Y$ son concíclicos. ike.chen

6 Halle todos los enteros positivos $n>2$ tales que $$ n! \mid \prod_{ p<q\le n, p,q \, \text{primes}} (p+q)$$ Aryan-23

3 Sean $x,y$ y $a_0, a_1, a_2, \cdots $ enteros que satisfacen $a_0 = a_1 = 0$ y $$a_{n+2} = xa_{n+1}+ya_n+1$$ para todos los enteros $n \geq 0$ . Sea $p$ cualquier número primo. Demuestre que $\gcd(a_p,a_{p+1})$ es igual a $1$ o mayor que $\sqrt{p}$ .

2 Los magos Albus y Brian juegan un juego en un cuadrado de lado $2n+1$ metros rodeado de lava. En el centro del cuadrado se sienta un sapo. En un turno, un mago elige una dirección paralela a un lado del cuadrado y hechiza al sapo. Esto hará que el sapo salte $d$ metros en la dirección elegida, donde $d$ es inicialmente igual a $1$ y aumenta en $1$ después de cada salto. El mago que envía al sapo a la lava pierde. Albus comienza y se turnan. Según $n$ , determine cuál mago tiene una estrategia ganadora.

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$ . Sobre su circunferencia circunscrita, sean $M_A$ , $M_B$ y $M_C$ los puntos medios de los arcos menores $BC, CA$ y $AB$ , respectivamente. Demuestre que el reflejo de $M_A$ respecto a la recta $IM_B$ está en la circunferencia circunscrita del triángulo $IM_BM_C$ .

4 Determine el menor valor posible de la expresión $$\frac{ab+1}{a+b}+\frac{bc+1}{b+c}+\frac{ca+1}{c+a}$$ donde $a,b,c \in \mathbb{R}$ satisfacen $a+b+c = -1$ y $abc \leqslant -3$

5 Tenemos una fila de 203 celdas. Inicialmente la celda más a la izquierda contiene 203 fichas, y el resto están vacías. En cada movimiento podemos hacer una de las siguientes acciones: 1) Tomar una ficha y moverla a una celda adyacente (a la izquierda o a la derecha). 2) Tomar exactamente 20 fichas de la misma celda y moverlas todas a una celda adyacente (todas a la izquierda o todas a la derecha). Después de 2023 movimientos cada celda contiene una ficha. Demuestre que existe una ficha que se movió a la izquierda al menos nueve veces.

3 Halle todas las cuádruplas $(a,b,c,d)$ de enteros positivos que satisfacen $a^2+b^2=c^2+d^2$ y tales que $ac+bd$ divide a $a^2+b^2$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con incentro $I$ y ortocentro $H$ . Sea $M$ el punto medio de $AB$ . Sobre la recta $AH$ consideramos los puntos $D$ y $E$ , tales que la recta $MD$ es paralela a $CI$ y $ME$ es perpendicular a $CI$ . Demuestre que $AE=DH$ .