Dada una sucesión $(a_n)$, con $a_1 = 4$ y $a_{n+1} = a_n^2 - 2$ (para todo $n \in \mathbb{N}$), demuestra que existe un triángulo con lados de longitudes $a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$, y que su área es igual a un entero.

36 Un tetraedro regular $A_1B_1C_1D_1$ está inscrito en un tetraedro regular $ABCD$, donde $A_1$ se encuentra en el plano $BCD$, $B_1$ en el plano $ACD$, etc. Demuestra que $A_1B_1 \ge\frac{ AB}{3}$.

37 Encuentra todas las bases de logaritmos en las que un número real positivo puede ser igual a su logaritmo, o demuestra que no existe ninguna. Amir

38 Demuestra la siguiente afirmación: Si un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales toma solo valores no negativos, entonces existe un entero positivo $n$ y polinomios $g_1(x), g_2(x),\cdots, g_n(x)$ tales que \[f(x) = g_1(x)^2 + g_2(x)^2 +\cdots+ g_n(x)^2\]

39 Una expedición al desierto acampa en el borde del desierto, y tiene que proporcionar un litro de agua potable a otro miembro de la expedición, que reside a una distancia de $n$ días de caminata desde el campamento, bajo las siguientes condiciones: $(i)$ Cada miembro de la expedición puede llevar como máximo $3$ litros de agua. $(ii)$ Cada miembro debe beber un litro de agua cada día que pase en el desierto. $(iii)$ Todos los miembros deben regresar al campamento. ¿Cuánta agua necesitan (como mínimo) para lograrlo?

40 Un polinomio $P(x)$ tiene grado a lo más $2k$, donde $k = 0, 1,2,\cdots$. Dado que para un entero $i$, la desigualdad $-k \le i \le k$ implica $|P(i)| \le 1$, demuestra que para todos los números reales $x$, con $-k \le x \le k$, se cumple la siguiente desigualdad: \[|P(x)| < (2k + 1)\dbinom{2k}{k}\]

41 Demuestra la siguiente afirmación: No existe una pirámide de base cuadrada con caras laterales congruentes para la cual las medidas de todas las aristas, el área total y el volumen sean números enteros.

43 Sean \(a, b, c\) las longitudes de los lados \(BC, CA, AB\), respectivamente, de un triángulo \(ABC\). Si \(P\) es cualquier punto sobre la circunferencia del círculo inscrito en el triángulo, demuestra que \(aPA^2+bPB^2+cPC^2\) es constante.

44 Determina todos los números reales \(a\) para los cuales existen reales positivos \(x_{1}, \ldots, x_{5}\) que satisfacen las relaciones \[ \sum_{k=1}^{5} kx_{k}=a, \quad \sum_{k=1}^{5} k^{3}x_{k}=a^{2}, \quad \sum_{k=1}^{5} k^{5}x_{k}=a^{3}. \]

45 Para cualquier entero positivo $n$ , denotamos por $F(n)$ el número de maneras en que $n$ puede expresarse como la suma de tres enteros positivos distintos, sin importar el orden. Así, como $10 = 7+2+1 = 6+3+1 = 5+4+1 = 5+3+2$ , tenemos que $F(10) = 4$ . Demuestra que $F(n)$ es par si $n \equiv 2$ o $4 \pmod 6$ , pero impar si $n$ es divisible por $6$ .