1 Determine todos los enteros positivos $n$ tales que $n^{2}+2^{n}$ es el cuadrado de un entero.

2 Sea $\alpha$ un número real con $\alpha>1$ . Sea la sucesión $(a_n)$ definida como $$a_n=1+\sqrt[\alpha]{2+\sqrt[\alpha]{3+\ldots+\sqrt[\alpha]{n+\sqrt[\alpha]{n+1}}}}$$ para todo entero positivo $n$ . Demuestre que existe una constante real positiva $C$ tal que $a_n<C$ para todo entero positivo $n$ .

3 Dados dos círculos $k_1$ y $k_2$ que se intersecan en $Q$ y $Q'.$ Sea $P$ un punto sobre $k_2$ y dentro de $k_1 $ tal que la recta $PQ$ interseca a $k_1$ en un punto $X\ne Q$ y tal que la tangente a $k_1$ en $X$ interseca a $k_2$ en los puntos $A$ y $B.$ Sea $k$ el círculo que pasa por $A,B$ y es tangente a la recta que pasa por $P$ paralela a $AB.$ Demuestre que los círculos $k_1$ y $k$ son tangentes.

6 Demuestre que para todo $x,y,z>0$ , se cumple la desigualdad \[\frac{x+y+z}{3}+\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \ge 5 \sqrt[3]{\frac{xyz}{16}}\] . Determine si la igualdad puede darse y, en tal caso, en qué casos ocurre.

4 Sea $ABCDEFGH$ un cubo de lado $a$ tal que $AG$ es una de las diagonales espaciales. Considere caminos sobre la superficie de este cubo. Luego determine el conjunto de puntos $P$ sobre la superficie para los cuales el camino más corto de $P$ a $A$ y de $P$ a $G$ tienen la misma longitud $l.$ Determine también todos los valores posibles de $l$ en función de $a.$

5 Cinco personas forman varias comisiones para preparar una competición. Aquí toda comisión debe ser no vacía y dos comisiones cualesquiera no pueden contener los mismos miembros. Además, dos comisiones cualesquiera tienen al menos un miembro en común. Ya hay $14$ comisiones. Demuestre que se puede formar al menos una comisión adicional.

6 Defina una sucesión $(a_n)$ mediante $a_1 =1, a_2 =2,$ y $a_{k+2}=2a_{k+1}+a_k$ para todo entero positivo $k$ . Determine todos los números reales $\beta >0$ que satisfacen las siguientes condiciones: (A) Hay infinitos pares de enteros positivos $(p,q)$ tales que $\left| \frac{p}{q}- \sqrt{2} \, \right| < \frac{\beta}{q^2 }.$ (B) Solo hay finitamente muchos pares de enteros positivos $(p,q)$ con $\left| \frac{p}{q}- \sqrt{2} \,\right| < \frac{\beta}{q^2 }$ para los cuales no existe un índice $k$ con $q=a_k.$

4 Hay dos puntos $A$ y $B$ en el plano. a) Determine el conjunto $M$ de todos los puntos $C$ del plano para los cuales $|AC|^2 +|BC|^2 = 2\cdot|AB|^2.$ b) Decida si existe un punto $C\in M$ tal que $\angle ACB$ sea máximo y, si es así, determine este ángulo.

2 Determine el número máximo de aristas que puede tener un grafo conexo $G$ con $n$ vértices, de modo que después de eliminar un ciclo arbitrario, $G$ ya no sea conexo.

3 Sea $ABC$ un triángulo y $k$ un círculo tal que: (1) El círculo $k$ pasa por $A$ y $B$ y es tangente a la recta $AC.$ (2) La tangente a $k$ en $B$ interseca a la recta $AC$ en un punto $X\ne C.$ (3) La circunferencia circunscrita $\omega$ de $BXC$ interseca a $k$ en un punto $Q\ne B.$ (4) La tangente a $\omega$ en $X$ interseca a la recta $AB$ en un punto $Y.$ Demuestre que la recta $XY$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $BQY.$