60 Encuentra el mayor entero menor o igual que $\sum_{k=1}^{2^{1983}} k^{\frac{1}{1983} -1}.$ Amir

62 Sea $\gamma$ un círculo trazado y sea $AB$ un diámetro. El punto $C$ sobre $\gamma$ es el punto medio del segmento de recta $BD$. Los segmentos de recta $AC$ y $DO$, donde $O$ es el centro de $\gamma$, se intersectan en $P$. Demuestra que existe un punto $E$ sobre $AB$ tal que $P$ está en el círculo con diámetro $AE.$ Amir

63 Sea $n$ un entero positivo que tiene al menos dos factores primos distintos. Demuestra que existe una permutación $a_1, a_2, \dots , a_n$ de los enteros $1, 2, \dots , n$ tal que \[\sum_{k=1}^{n} k \cdot \cos \frac{2 \pi a_k}{n}=0.\] Amir

La suma de todos los ángulos de las caras en todos los vértices excepto uno de un poliedro dado es $5160$. Encuentra la suma de todos los ángulos de las caras del poliedro.

65. Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyas diagonales $AC$ y $BD$ se intersectan en un punto $P$. Demuestra que \[ \frac{AP}{PC}=\frac{\cot \angle BAC + \cot \angle DAC}{\cot \angle BCA + \cot \angle DCA} \] Amir

34 Sean $a, b, c$ enteros. Demuestre que existen enteros $p_1, q_1, r_1, p_2, q_2, r_2$ tales que \[a = q_1r_2 - q_2r_1, b = r_1p_2 - r_2p_1, c = p_1q_2 - p_2q_1.\] Amir

33 Sean $a, b, c$ números reales positivos y $p, q, r$ números complejos. Sea $S$ el conjunto de todas las soluciones $(x, y, z)$ en $\mathbb C$ del sistema de ecuaciones simultáneas \[ax + by + cz = p,\] \[ax2 + by2 + cz2 = q,\] \[ax3 + bx3 + cx3 = r.\] Demuestre que $S$ tiene a lo sumo seis elementos. Amir

Sean \( a \), \( b \) y \( c \) las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestra que \[ a^{2}b(a - b) + b^{2}c(b - c) + c^{2}a(c - a)\ge 0. \] Determina cuándo ocurre la igualdad.

67 La altura desde un vértice de un tetraedro dado interseca la cara opuesta en su ortocentro. Demuestra que las cuatro alturas del tetraedro son concurrentes. Amir

69 Sea $A$ uno de los dos puntos distintos de intersección de dos circunferencias coplanares desiguales $C_1$ y $C_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Una de las tangentes comunes a las circunferencias toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$, mientras que la otra toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$. Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$. Demuestra que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$.