Encuentre la menor constante $A>0$ tal que la siguiente desigualdad se cumple siempre: para todo entero positivo $n$ y enteros $c_1,c_2,\dots,c_n$ , $d_1,d_2,\dots,d_n$ que satisfacen $d_1+d_2+\cdots+d_n=0$ , se cumple la desigualdad $$ \sum_{i=1}^{n}\left( 2\sum_{j=1}^{c_i}\left\lceil \frac{d_i}{c_i}j \right\rceil + \left(-1+2\sum_{j=1}^{i-1} d_j\right)c_i \right) + n < A\left(\sum_{i=1}^{n}\sqrt{c_i^2+d_i^2}\right)^2 $$. Propuesto por Jihoo Lee

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ tales que para todos los números reales $x>1$ e $y>0$ , \[ f\!\left(\frac{f(y)}{x-1}\right)+y \;=\; f\!\left(\frac{1}{xy}\right). \] Propuesto por Kim Gyumin

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ con centro en $O$ , y sean $X$ e $Y$ puntos dentro de $\triangle ABC$ que están sobre la bisectriz del $\angle A$ tales que $\angle BXC+\angle BYC=180^\circ + \angle A.$ La circunferencia con diámetro $AX$ corta nuevamente a $\Gamma , AB, AC$ en $S, S_1$ y $S_2$ , respectivamente. De manera similar, la circunferencia con diámetro $AY$ corta nuevamente a $\Gamma , AB, AC$ en $T, T_1$ y $T_2$ , respectivamente. Sea $N$ el punto medio del arco $BAC$ , y defina $U_1,U_2,V_1,V_2$ como la segunda intersección de $\Gamma$ con $NS_1,NS_2,NT_1$ y $NT_2$ , respectivamente. Denote por $P$ la intersección de las rectas $U_1V_2$ y $U_2V_1$ , y por $Q$ la intersección de $ST$ y $BC$ . Suponga que las dos rectas obtenidas al reflejar la tangente en $A$ a $\Gamma$ con respecto a $OX$ y $OY$ se intersecan en $D$ . Si $ND$ corta nuevamente a $\Gamma$ en $E$ , demuestre que $AE\parallel PQ$ . Propuesto por Wooju Ham

Para polinomios dados $f,g$ con coeficientes enteros en dos variables, defina las sucesiones de enteros $\{x_i\},\{y_i\}$ $(i=0,1,\dots)$ mediante \[ x_0=y_0=0,\qquad x_{i+1}=f(x_i,y_i),\qquad y_{i+1}=g(x_i,y_i)\quad (i\ge 0). \] Sea $T$ el menor entero positivo tal que $x_T=y_T=0$ . (a) ¿Existe tal par $f,g$ para $T=6$? (b) ¿Existe tal par $f,g$ para $T=7$? Propuesto por Jimin Kim

Para un polinomio bivariado $P(x,y)$ con coeficientes enteros, defina \[ S(P)=\{\,P(x,y)\mid x,y\in\mathbb{Z},\ -90\le P(x,y)\le 90\,\}. \] Si existe un polinomio bivariado $P$ con coeficientes enteros que satisface $$S(P)=\{i^2 \mid i=1,2,\cdots,9\} \cup\{-i^2 \mid i=1,\cdots,9\} \cup \{ -90, 0, 90 \}$$ determine el menor grado posible; en caso contrario, demuestre que tal polinomio no existe. Propuesto por Hyunwoo Choi

Beni tiene palitos de longitudes $1,2,3,…,n$ para algún número natural $n$ . Quiere formar un triángulo equilátero usando todos los palitos para construir los lados del triángulo. Cada lado debe estar formado por un número distinto de palitos. ¿Cuál es el menor valor de $n$ para el cual esto es posible?

Dado un triángulo $ABC$ , sea $P$ la intersección de la recta que pasa por $A$ perpendicular a $AC$ y la recta que pasa por $B$ perpendicular a $AB$ . Sea $Q$ la intersección de la recta que pasa por $A$ perpendicular a $AB$ y la recta que pasa por $C$ perpendicular a $AC$ . Demuestre que la mediatriz de $BC$ biseca al segmento $PQ$ . Propuesto por Hyunwoo Choi

Igual que el de senior

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $H$ su ortocentro. En la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ , $N$ es el punto medio del arco $BC$ que contiene a $A$ . Denote por $M$ el punto medio del segmento $BC$ , y por $K$ el punto medio de $NH$ . Demuestre que la recta $MK$ biseca el perímetro de $\Delta ABC$ . Propuesto por Hyunwoo Choi

Igual que el de senior