68 Sean $\alpha,\beta,\gamma$ números reales positivos tales que $\alpha+\beta+\gamma < \pi$ , $\alpha+\beta > \gamma$ , $ \beta+\gamma > \alpha$ , $\gamma + \alpha > \beta.$ Demuestre que con los segmentos de longitudes $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma $ se puede construir un triángulo y que su área no es mayor que \[A=\dfrac 18\left( \sin 2\alpha+\sin 2\beta+ \sin 2\gamma \right).\] Propuesto por la Unión Soviética Amir

Sea un cubo $3 \times 3 \times 3$ formado por $27$ cubos unitarios. En cada uno de estos cubos está escrito un entero positivo. Llame $\textit {strip}$ a un bloque $1 \times 1 \times 3$ de $3$ cubos. Los números están escritos de modo que para cada cubo, su número es la suma de otros tres números, uno de cada una de las tres tiras en las que se encuentra. Demuestre que hay al menos $16$ números que son a lo sumo $60$ .

3 Para todo entero positivo $n$ , $s(n)$ denota la suma de los dígitos en la representación decimal de $n$ . Demuestre que para todo entero $n \ge 5$ , se tiene $$S(1)S(3)...S(2n-1) \ge S(2)S(4)...S(2n)$$

. Demuestre que el número $11\ldots1122\ldots22$ , formado por $100$ unos seguidos de $100$ doses, es el producto de dos enteros consecutivos. P2. En un cuadrilátero $ABCD$ con $AB$ no paralelo a $CD$ , sea $E$ el punto medio de $AB$ y $F$ el punto medio de $CD$ . Demuestre que los puntos medios de los segmentos $AF$ , $CE$ , $BF$ y $DE$ son los vértices de un paralelogramo. P3. Dados $n+1$ números naturales distintos, todos menores que $2n$ , demuestre que se pueden elegir tres de ellos tales que uno de los números sea igual a la suma de los otros dos.

67 Si $a, b, c, d$ son números reales tales que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \leq 1$ , halle el máximo de la expresión \[(a + b)^4 + (a + c)^4 + (a + d)^4 + (b + c)^4 + (b + d)^4 + (c + d)^4.\] Amir

3 Para cualesquiera números reales $x , y ,z$ demuestre que : $$(x+y+z)^2 + \sum_{cyc}{\frac{(x+y)(y+z)}{1+|x-z|}} \ge xy+yz+zx$$ Propuesto por Navid Safaei Shayan-TayefehIR

Dado un triángulo \(ABC\) con \(BC=a\), \(CA=b\), \(AB=c\), \(\angle BAC = \alpha\), \(\angle CBA = \beta\), \(\angle ACB = \gamma\). Demuestra que \[ a \sin(\beta-\gamma) + b \sin(\gamma-\alpha) + c\sin(\alpha-\beta) = 0. \]

9.5 El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en la parábola $y=x^2$ . Se sabe que el ángulo $BAD=90$ , la diagonal $AC$ es paralela al eje $Ox$ y $AC$ es la bisectriz del ángulo BAD. Halle el área del cuadrilátero $ABCD$ si la longitud de la diagonal $BD$ es igual a $p$ .

1 Halle todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes enteros tales que $f(n)$ y $f(2^{n})$ son coprimos para todos los números naturales $n$ .

2 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c = 3$ . Halle el valor mínimo de la expresión \[A=\dfrac{2-a^3}a+\dfrac{2-b^3}b+\dfrac{2-c^3}c.\]