2 $\angle{A}$ es el ángulo menor en $\Delta{ABC}$. El punto $D$ está sobre el arco $BC$ de la circunferencia circunscrita de $\Delta{ABC}$. Las mediatrices de los segmentos $AB,AC$ intersecan la recta $AD$ en $M,N$, respectivamente. El punto $T$ es el punto de intersección de $BM$ y $CN$. Supón que $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita de $\Delta{ABC}$. Demuestra que: \[ BT+CT\leq{2R}. \]

A4 Defina una sucesión mediante $s_0 = 1$ y, para $d \geq 1$ , $s_d = s_{d-1} + X_d$ , donde $X_d$ se elige uniformemente al azar del conjunto $\{1, 2, \dots, d\}$ . ¿Cuál es la probabilidad de que la sucesión $s_0, s_1, s_2, \dots$ contenga infinitos números primos?

A3 Sea $W$ un entero positivo fijo. Sea $S$ el conjunto de todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos tales que $a \neq b$ . Para cada $(a, b) \in S$ , sea $m(a,b)$ el mayor entero que satisface \[ m(a, b) \leq \frac{1 + na}{1 + nb} \] para todo entero $n \geq 1$ . (a) Para cada $(a, b) \in S$ , demuestre que existe un entero positivo $k$ tal que \[ m(a,b) \leq \frac{1 + na}{W + nb} \] para todo $n \geq k$ . (b) Para cada $(a, b) \in S$ , sea $k(a,b)$ el menor valor de $k$ que satisface la condición del inciso (a). Determine $\max \{k(a,b) \mid (a,b) \in S \}$ o demuestre que no existe.

A1 Sean $a,b,c$ números reales mayores que 1 que satisfacen $$\lfloor a\rfloor b = \lfloor b \rfloor c = \lfloor c\rfloor a.$$ Demuestre que $a=b=c$ (Aquí, $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $x$ . )

3 Demuestre que \[\left(a+2b+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac{2}{b+1}\right)\geq 16\] para todos los números reales positivos $a$ y $b$ tales que $ab\geq 1$ .

2 $\boxed{\text{A2}}$ Halle el valor máximo de $|\sqrt{x^2+4x+8}-\sqrt{x^2+8x+17}|$ donde $x$ es un número real.

1 $\boxed{A1}$ Halle todas las ternas ordenadas de números reales $(x,y,z)$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones $x^3=\frac{z}{y}-\frac {2y}{z}$ $y^3=\frac{x}{z}-\frac{2z}{x}$ $z^3=\frac{y}{x}-\frac{2x}{y}$

4 Halle todos los enteros positivos de 3 dígitos $\overline{abc}$ tales que \[ \overline{abc} = abc(a+b+c) , \] donde $\overline{abc}$ es la representación decimal del número. Valentin

3 Demuestre que existen (a) 5 puntos en el plano tales que entre todos los triángulos con vértices entre estos puntos hay 8 triángulos rectángulos; (b) 64 puntos en el plano tales que entre todos los triángulos con vértices entre estos puntos hay al menos 2005 triángulos rectángulos. Valentin

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en una circunferencia $k$ . Se da que la tangente desde $A$ a la circunferencia corta a la recta $BC$ en el punto $P$ . Sea $M$ el punto medio del segmento $AP$ y $R$ el segundo punto de intersección de la circunferencia $k$ con la recta $BM$ . La recta $PR$ corta nuevamente a la circunferencia $k$ en el punto $S$ distinto de $R$ . Demuestre que las rectas $AP$ y $CS$ son paralelas. Valentin