2 En el sistema de coordenadas rectangulares del espacio, tome tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares que parten del origen. Sean \(A, B, C\) las proyecciones de los extremos de estos tres vectores sobre el plano \(XOY\) . Demuestre que la suma de los cuadrados de las abscisas de \(A, B, C\) es igual a 1. Propuesto por He Tongmu

3 Sea \(ABCD\) un cuadrilátero circunscrito. Denote por \(O_A, O_B, O_C, O_D\) los circuncentros de los triángulos \(BCD, CDA, DAB, ABC\) , respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero \(O_AO_BO_CO_D\) también es circunscrito. Propuesto por Zhang Duanyang

4 Un grafo completo de orden \(n\) puede descomponerse en la unión de \(n\) subgrafos completos \(G_1, \dots, G_n\) , disjuntos por aristas por pares, donde cada \(G_i\) tiene al menos dos vértices. Denote los conjuntos de vértices de \(G_1, \dots, G_n\) por \(V_1, \dots, V_n\) , respectivamente. Demuestre que \[ |V_1| = \cdots = |V_n| = a \] y \[ n = a^2 - a + 1. \] Propuesto por Wu Dongxiao

4 Sean $n\ge 3$ , $x_1,\cdots ,x_n>0$ , $x_1+x_2+\cdots +x_n=n$ . Demuestre que si $\alpha>\beta>1$ , entonces \[\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nx_i^{\alpha}-n}{\alpha-1}\ge \dfrac{\sum\limits_{i=1}^nx_i^{\beta}-n}{\beta-1}.\] Propuesto por Jiahao Li ys-lg

1hehe Halle todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: para todos los divisores positivos $d$ de $n$ , se tiene que $d+1\mid n$ o $d+1$ es primo. KevinYang2.71

2024.3 Sea $n \ge 3$ un entero. Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de vértices de un $n$ -ágono regular en el plano. Un polinomio $f(x, y)$ de dos variables con coeficientes reales se llama $\textit{regular}$ si $$\mathcal{P} = \{(u, v) \in \mathbb{R}^2 \, | \, f(u, v) = 0 \}.$$ Halle el menor valor posible del grado de un polinomio regular. Propuesto por Navid Safaei

2025.5 Hay un polígono simple de $n$ lados en el plano, con $n>3$ impar. El interior ha sido embaldosado perfectamente con triángulos de modo que cada arista de cualquier triángulo coincide con exactamente una arista de otro triángulo o del polígono. Alicia y Bob juegan el siguiente juego sobre esto: Alicia comienza, y se turnan. En su turno, Alicia puede colorear de rojo cualquier triángulo sin colorear, mientras que Bob puede colorear de azul cualquier triángulo sin colorear. Por cada arista común a dos triángulos, Alicia la gana si ambos triángulos son rojos, y Bob la gana si son azules. Gana quien tenga estrictamente más aristas ganadas que el otro. Demuestre que Alicia tiene una estrategia ganadora. Propuesto por Pulkit Sinha

1999.2 Los rayos $l_1,l_2,\ldots,l_{n-1}$ dividen un ángulo dado $ABC$ en $n$ partes iguales. Una recta $l$ interseca a $AB$ en $A_1$ , a $BC$ en $A_{n+1}$ , y a $l_i$ en $A_{i+1}$ para $i=1,\ldots,n-1$ . Demuestre que la cantidad $$\left(\frac1{BA_1}+\frac1{BA_{n+1}}\right)\left(\frac1{BA_1}+\frac1{BA_2}+\ldots+\frac1{BA_{n+1}}\right)^{-1}$$ es independiente de la recta $l$ , y calcule su valor si $\angle ABC=\phi$ .

1999.6 Un punto $M$ está sobre el lado $AC$ de un triángulo $ABC$ . La circunferencia $\gamma$ con diámetro $BM$ interseca las rectas $AB$ y $BC$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Halle el lugar geométrico del punto de intersección de las tangentes a $\gamma$ en $P$ y $Q$ cuando el punto $M$ varía.

3 Sea $n$ un entero positivo. (a) Demuestra que existe un conjunto $S$ de $6n$ enteros positivos distintos por pares, tal que el mínimo común múltiplo de cualesquiera dos elementos de $S$ no sea mayor que $32n^2$. (b) Demuestra que todo conjunto $T$ de $6n$ enteros positivos distintos por pares contiene dos elementos cuyo mínimo común múltiplo es mayor que $9n^2$.