2 En el plano se dan siete puntos distintos $P_1, P_2, P_3, P_4, Q_1, Q_2, Q_3$ . Los puntos $P_1, P_2, P_3, P_4$ están sobre la recta $p$ , mientras que los puntos $Q_1, Q_2, Q_3$ no están sobre $p$ . Por cada uno de los tres puntos $Q_1, Q_2, Q_3$ se trazan las perpendiculares a las rectas que unen pares de los demás puntos. Demuestre que el número máximo de intersecciones posibles de todas las perpendiculares es 286, contando los puntos $Q_1, Q_2, Q_3$ como intersecciones. Binomial-theorem

4 Halle todas las soluciones reales del siguiente sistema de ecuaciones: \[72x^3+4xy^2=11y^3\] \[27x^5-45x^4y-10x^2y^3=\frac{-143}{32}y^5\] Binomial-theorem

3 $E_1$ y $E_2$ son planos paralelos y su distancia es $p$ . (a) ¿Cuánto mide la arista lateral del octaedro regular tal que una cara se encuentra en $E_1$ y otra en $E_2$ ? (b) $E$ es un plano entre $E_1$ y $E_2$ , paralelo a $E_1$ y $E_2$ , de modo que sus distancias a $E_1$ y $E_2$ están en la razón $1:2$ . Dibuje la figura de intersección de $E$ con el octaedro para $P=4\sqrt{\frac32}$ cm y justifique por qué dicha figura debe tener ese aspecto. Binomial-theorem

1 Halle el valor mínimo de la expresión $ \frac{a+1}{a(a+2)}+\frac{b+1}{b(b+2)}+\frac{c+1}{c(c+2)}$ , donde $ a,b,c$ son números reales positivos con $ a+b+c \le 3$ .

2 Para un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ con $\angle A=90$ tenemos $AC=2AB$ . El punto $M$ es el punto medio del lado $BC$ e $I$ es el incentro del triángulo $\triangle ABC$ . La recta que pasa por $M$ y es perpendicular a $BI$ corta a las rectas $BI$ y $AC$ en los puntos $H$ y $K$ respectivamente. Si la semirrecta $IK$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ en $F$ y $S$ es el segundo punto de intersección de la recta $FH$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ , entonces demuestre que $SM$ es tangente a la circunferencia inscrita del triángulo $\triangle ABC$ . Propuesto por Mahdi Etesami Fard Shayan-TayefehIR

3 Para cualesquiera números reales $x , y ,z$ demuestre que : $$(x+y+z)^2 + \sum_{cyc}{\frac{(x+y)(y+z)}{1+|x-z|}} \ge xy+yz+zx$$ Propuesto por Navid Safaei Shayan-TayefehIR

1 Halle el menor número natural $x> 0$ tal que todas las fracciones siguientes sean irreducibles $\frac{3x+9}{8},\frac{3x+10}{9},\frac{3x+11}{10},...,\frac{3x+49}{48}$ , es decir, que los numeradores y los denominadores sean primos relativos.

2 Para cualquier número real $a$ , halle todos los números reales $x$ que satisfacen la siguiente ecuación. $$(2x + 1)^4 + ax(x + 1) - \frac{x}{2}= 0$$

4 Para todo número real $ b$ determine todos los números reales $ x$ que satisfacen $ x-b= \sum_{k=0}^{\infty}x^k$ .

4 Sean $a_0, a_1, ..., a_{2002}$ números reales. a) Demuestre que el menor de los valores $a_k (1-a_{2002-k})$ ( $0 \le k \le 2002$ ) es menor o igual que $1/4$ . b) ¿Se cumple siempre esta afirmación para el menor de los valores $a_k (1-a_{2003-k})$ ( $1 \le k \le 2002$ )? c) Demuestre que, para números reales positivos $a_0, a_1, ..., a_{2002}$ , el menor de los valores $a_k (1-a_{2003-k})$ ( $1 \le k \le 2002$ ) es menor o igual que $1/4$ .