42 Dada una sucesión finita de enteros $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ para $n\geq 2.$ Demuestra que existe una subsucesión $a_{k_{1}},$ $a_{k_{2}},$ $...,$ $a_{k_{m}},$ donde $1\leq k_{1}\leq k_{2}\leq...\leq k_{m}\leq n,$ tal que el número $a_{k_{1}}^{2}+a_{k_{2}}^{2}+...+a_{k_{m}}^{2}$ es divisible por $n.$ Nota de Darij: Por supuesto, las condiciones $1\leq k_{1}\leq k_{2}\leq ...\leq k_{m}\leq n$ deben entenderse como $1\leq k_{1}<k_{2}<...<k_{m}\leq n;$ de lo contrario, podríamos tomar $m=n$ y $k_{1}=k_{2}=...=k_{m},$ de modo que el número $a_{k_{1}}^{2}+a_{k_{2}}^{2}+...+a_{k_{m}}^{2}=n^{2}a_{k_{1}}^{2}$ seguramente será divisible por $n.$

43 Dados 5 puntos en un plano, sin que tres de ellos sean colineales. Cada par de estos 5 puntos se une con un segmento, y cada uno de estos segmentos se pinta de rojo o de azul; supón que no hay ningún triángulo cuyos lados sean segmentos del mismo color. a.) Demuestra que: (1) Entre los cuatro segmentos que parten de cualquiera de los 5 puntos, dos son rojos y dos son azules. (2) Los segmentos rojos forman un camino cerrado que pasa por los 5 puntos dados. (De manera similar para los segmentos azules.) b.) Da un plan de cómo pintar los segmentos de rojo o de azul para que se cumpla la condición (ningún triángulo con lados del mismo color).

44 ¿Cuál es el mayor número de bolas de radio $1/2$ que se pueden colocar dentro de una caja rectangular de tamaño $10 \times 10 \times 1$? Amir

45 Un alfabeto consta de $n$ letras. ¿Cuál es la longitud máxima de una palabra si sabemos que cualesquiera dos letras consecutivas $a,b$ de la palabra son diferentes y que la palabra no puede reducirse a una palabra del tipo $abab$ con $a\neq b$ eliminando letras?

46 Sean $a,b,c$ reales y \[f(a, b, c) = \left| \frac{ |b-a|}{|ab|} +\frac{b+a}{ab} -\frac 2c \right| +\frac{ |b-a|}{|ab|} +\frac{b+a}{ab} +\frac 2c\] Demuestra que $f(a, b, c) = 4 \max \{\frac 1a, \frac 1b,\frac 1c \}.$ Amir

47 Considera todos los segmentos que dividen el área de un triángulo \(ABC\) en dos partes iguales. Encuentra la longitud del segmento más corto entre ellos, si las longitudes de los lados \(a,\) \(b,\) \(c\) del triángulo \(ABC\) están dadas. ¿Cuántos de estos segmentos más cortos existen?

Dos paredes espejadas se colocan formando un ángulo de medida $\alpha$. Hay una vela dentro del ángulo. ¿Cuántos reflejos de la vela puede ver un observador? Amir

51 Considera $n$ estudiantes con números $1, 2, \ldots, n$ parados en el orden $1, 2, \ldots, n.$ Ante una orden, cualquiera de los estudiantes o permanece en su lugar o intercambia su lugar con otro estudiante. (En realidad, si el estudiante $A$ intercambia su lugar con el estudiante $B,$ entonces $B$ ya no puede intercambiar su lugar con ningún otro estudiante $C$ hasta que llegue la siguiente orden.) ¿Es posible ordenar a los estudiantes en el orden $n,1, 2, \ldots, n-1$ después de dos órdenes?

52 Una figura con área $1$ se recorta de papel. Dividimos esta figura en $10$ partes y las coloreamos con $10$ colores diferentes. Ahora, damos la vuelta al trozo de papel, dividimos la misma figura por el otro lado del papel en $10$ partes nuevamente (de alguna manera diferente). Demuestra que podemos colorear estas nuevas partes con los mismos $10$ colores nuevamente (aquí, partes diferentes deben tener colores diferentes) de modo que la suma de las áreas de todas las partes de la figura coloreadas con el mismo color en ambos lados sea $\geq \frac{1}{10}.$

53 Demuestra que en todo hexágono convexo de área \(S\) se puede trazar una diagonal que corte un triángulo de área no mayor que \(\frac{1}{6}S.\) Amir