40 La recta perpendicular trazada desde el centro de la circunferencia circunscrita a la bisectriz del ángulo $C$ en un triángulo $ABC$ divide al segmento de la bisectriz interior a $ABC$ en dos segmentos cuyas longitudes están en razón $\lambda$ . Dados $b = AC$ y $a = BC$ , halle la longitud del lado $c.$ Amir

41 Sean dados $n$ puntos arbitrarios en el plano, sin tres de ellos colineales. Tracemos segmentos entre pares de estos puntos. ¿Cuál es el número mínimo de segmentos que pueden colorearse de rojo de manera que entre cualesquiera cuatro puntos, tres de ellos estén conectados por segmentos que formen un triángulo rojo? Amir

63 Sea $x_n = \sqrt[2]{2+\sqrt[3]{3+\cdots+\sqrt[n]{n}}}.$ Demuestre que \[x_{n+1}-x_n <\frac{1}{n!} \quad n=2,3,\cdots\] Amir

2 Se dan los reales $a, b$ . Demuestre que al menos una de las ecuaciones $x^4-2b^3x+a^4=0$ y $x^4-2a^3x+b^4=0$ tiene una raíz real. Propuesto por N. Agakhanov

71 Para todo entero $r > 1$ halle el menor entero $h(r) > 1$ con la siguiente propiedad: Para cualquier partición del conjunto $\{1, 2, . . ., h(r)\}$ en $r$ clases, existen enteros $a \geq 0, 1 \leq x \leq y$ tales que los números $a + x, a + y, a + x + y$ están contenidos en la misma clase de la partición. Amir

3 Se da un triángulo $ABC$ y $M$ es el punto medio del arco menor $BC$ . Sea $M_1$ el reflejo de $M$ con respecto al lado $BC$ . Demuestre que el círculo de los nueve puntos biseca a $AM_1$ .

1 Un polinomio no constante $f$ con coeficientes enteros tiene la propiedad de que, para cada primo $p$ , existen un primo $q$ y un entero positivo $m$ tales que $f(p) = q^m$ . Demuestre que $f = X^n$ para algún entero positivo $n$ . AMM Magazine

2 Se tiene una hoja de papel cuadrada. ¿Cómo obtener una hoja de papel rectangular con una razón entre sus lados igual a $\sqrt2$ ? (No hay herramientas; la hoja solo se puede doblar.)

1 Sean $u, v$ números reales positivos arbitrarios. Demuestre que \[\min{(u, \frac{100}{v}, v+\frac{2023}{u})} \leq \sqrt{2123}.\]

12 La sucesión $\left(a_n \right)$ está definida por $a_1=1, \ a_2=2$ y $$a_{n+2} = 2a_{n+1}-pa_n, \ \forall n \ge 1,$$ para algún primo $p.$ Halle todos los $p$ para los cuales existe $m$ tal que $a_m=-3.$