IMO SL 2017 Problema C1
Un rectángulo \(\mathcal{R}\) con longitudes laterales enteras e impares está dividido en rectángulos más pequeños con longitudes laterales enteras. Demuestra que hay al menos uno entre los rectángulos más pequeños cuyas distancias desde los cuatro lados de \(\mathcal{R}\) son todas impares o todas pares.\n
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MOSP 1997
Sean $A$ y $B$ conjuntos ajenos tales que su unión es el conjunto de los enteros positivos. Prueba que para todo entero positivo $n$ existen enteros distintos $a,b>n$ tales que $\{a,b,a+b\}\in A$ o $\{a,b,a+b\}\in B$.
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AIME 1990 Problema 13
Sea \(T = \{9^k : k \ \text{es un entero}, 0 \le k \le 4000\}\). Dado que \(9^{4000}\) tiene 3817 dígitos y que su primer dígito (más a la izquierda) es 9, ¿cuántos elementos de \(T\) tienen 9 como su primer dígito?
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AIME 1995 Problema 6
Sea \(n=2^{31}3^{19}.\) ¿Cuántos divisores enteros positivos de \(n^2\) son menores que \(n\) pero no dividen a \(n\)?\n
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AIME 1986 Problema 7
La secuencia creciente \(1,3,4,9,10,12,13\cdots\) consiste en todos aquellos enteros positivos que son potencias de 3 o sumas de potencias distintas de 3. Encuentra el término que ocupa la posición 100 de esta secuencia.
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AIME II 2001 Problema 5
Un conjunto de números positivos tiene la propiedad del triángulo si tiene tres elementos distintos que son las longitudes de los lados de un triángulo cuya área es positiva. Determina el mayor entero positivo $n$ tal que todos los subconjuntos de diez elmentos del conjunto $\{4,5,6,\dots,n\}$ tienen la propiedad del triángulo.
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AIME II 2012 Problema 14
En un grupo de nueve personas, cada persona se estrecha la mano exactamente con otras dos personas del grupo. Sea \(N\) el número de formas en que se pueden dar estos apretones de manos. Considera dos arreglos de apretones de manos diferentes si y solo si al menos dos personas que se dan la mano en un arreglo no se dan la mano en el otro arreglo. Encuentra el residuo cuando \(N\) se divide por \(1000\).
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Canadian MO 1971 Problema 10
Supongamos que $n$ personas conocen exactamente una pieza de información, y las $n$ piezas son diferentes. Cada vez que la persona $A$ llama a la persona $B$, $A$ le cuenta a $B$ todo lo que $A$ sabe, mientras que $B$ no le cuenta nada a $A$. ¿Cuál es el número mínimo de llamadas telefónicas entre pares de personas necesarias para que todos sepan todo?
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Indonesia MO 2005 Problema 8
En una competición de matemáticas hay $90$ concursantes. Cada concursante se hace amigo de al menos $60$ concursantes. Uno de los concursantes, Amin, afirma que al menos cuatro concursantes tienen la misma cantidad de nuevos amigos. Demuestra o refuta su afirmación.
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Saint Petersburg City MO 1999
Considera los números reales $x_0>x_1>x_2>\cdots>x_n$. Pruebe que$$x_0+\frac{1}{x_0-x_1}+\frac{1}{x_1-x_2}+\cdots+\frac{1}{x_{n-1}-x_n}\geq x_n+2n.$$¿Cuándo se cumple la igualdad?
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