PUTNAM 2005 Problema B2
Encuentra todos los enteros positivos \(n, k_1, \dots, k_n\) tales que \(k_1+\cdots+k_n=5n-4\) y\n\[ \frac1{k_1}+\cdots+\frac1{k_n}=1. \]
69
0
China Western Mathematical Olympiad 2002 Problema 6
Dado un entero positivo $n$, encuentra todos los enteros $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n$$(1): a_1+a_2+\cdots+a_n\geq n^2$$$$(2):a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\leq n^3+1$$
73
0
JBMO 2013 Problema 3
Demuestra que\[\left(a+2b+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac{2}{b+1}\right)\geq 16\]para cualesquiera números reales positivos \(a\) y \(b\) tales que \(ab\geq 1\).\n
70
0
Indonesia MO 2008 Problema 2
Demuestra que para cualesquiera números reales positivos \(x\), \(y\), se cumple\[\frac {1}{(1 + \sqrt {x})^{2}} + \frac {1}{(1 + \sqrt {y})^{2}} \ge \frac {2}{x + y + 2}.\]\n
74
0
USAMO 1978 Problema 1
Dados números reales \(a, b, c, d, e\) tales que\[a+b+c+d+e=8,\]\[a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16.\]Determina el valor máximo de \(e\).
74
0
USAMO 2009 Problema 4
Para \(n \ge 2\), sean \(a_1, a_2, \dots, a_n\) números reales positivos tales que\[(a_1+a_2+ \dots +a_n)\left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots +\frac{1}{a_n} \right) \le \left(n+ \frac{1}{2} \right)^2\]Demuestra que \(\max(a_1, a_2, \dots ,a_n) \le 4 \min(a_1, a_2, \dots , a_n)\).
66
0
AMC 12B 2013 Problema 17
Sean \(a, b,\) y \(c\) números reales tales que\[a+b+c=2, \text{ y}\]\[a^2+b^2+c^2=12\]¿Cuál es la diferencia entre los valores máximos y mínimos posibles de \(c\)?
75
0
Desigualdad MA-MG con Pesos
Sean $w_1,w_2,\cdots, w_n$ y $x_1,x_2,\cdots,x_n$ secuencias de reales positivos y sea $w=w_1+w_2+\cdots +w_n$. Entonces tenemos $$\frac{w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n}{w}\geq \sqrt[w]{x_1^{w_1}x_2^{w_2}\cdots x_n^{w_n}}$$ La igualdad se da si y solo si todos los $x_i$ son iguales.
62
0
Desigualdad de Schur
Sean $a,b,c$ reales no negativos, y $r>0$ entonces $$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\geq 0$$ La igualdad se da cuando $a=b=c$ o cuando uno de los numeros es $0$ y los otros dos iguales.\nEl caso particular de $r=1$ nos da la siguiente desigualdad: $$a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b$$
65
0
Proposiciones básicas de la función φ de Euler
1.- Sea $p$ un número primo y sea $a$ un entero positivo. Entonces $φ(p^a)=p^a-p^{a-1}$.\n\n2.- Sean $a$ y $b$ enteros positivos primos relativos entre si. Entonces $φ(ab)=φ(a)φ(b)$.
37
0