Cálculo de la función φ de Euler
Si $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$ es la factorización en primos de $n>1$, entonces$$φ(n)=n\left(1-\cfrac{1}{p_1}\right) \cdots\left(1- \cfrac{1}{p_k}\right).$$
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AIME II 2021 Problema 13
Encuentra el menor entero positivo \(n\) para el cual \(2^n + 5^n - n\) es múltiplo de \(1000\).
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JBMO 1999 Problema 2
Para cada número entero no negativo \(n\) definimos \(A_n = 2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}\). Encuentra el máximo común divisor de los números \(A_0, A_1, \ldots, A_{1999}\).
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AMC 12A 2010 Problema 23
El número obtenido a partir de los últimos dos dígitos no nulos de $90!$ es igual a $n.$ ¿Cuál es el valor de $n$?
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USAMO 2017 Problema 1
Demuestra que hay infinitos pares distintos \((a, b)\) de enteros positivos relativamente primos, con \(a>1\) y \(b>1\), tales que \(a^b+b^a\) es divisible por \(a+b\).\n
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USAJMO 2016 Problema 2
Demuestra que existe un entero positivo \(n < 10^6\) tal que \(5^n\) tiene seis ceros consecutivos en su representación decimal.\n
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AMC 10B 2018 Problema 16
Sea \(a_1, a_2, \dots, a_{2018}\) una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos tal que$$a_1+a_2+\cdots+a_{2018}=2018^{2018}.$$¿Cuál es el residuo cuando \(a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2018}^3\) es dividido por \(6\)?
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Indonesia MO 2006 Problema 2
Sean \(a\), \(b\) y \(c\) números enteros positivos. Si \(30|a+b+c\), demuestra que \(30|a^5+b^5+c^5\).
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AIME 1989 Problema 9
Una de las conjeturas de Euler fue refutada en la década de 1960 por tres matemáticos estadounidenses cuando demostraron que existe un número entero positivo tal que\n\[133^5+110^5+84^5+27^5=n^{5}.\]\nEncuentra el valor de \(n\).\n
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AMC 10B 2017 Problema 14
Se selecciona al azar un número entero $N$ en el rango $1\leq N \leq 2020$. ¿Cuál es la probabilidad de que el residuo cuando $N^{16}$ se divide por $5$ sea $1$?
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