Una función $f$ se define de manera recursiva por $f(1)=f(2)=1$ y$$f(n)=f(n−1)−f(n−2)+n$$para todo $n \geq 3$. ¿Cuál es el valor de $f(2018)$?

Una secuencia numérica se define de manera recursiva por $a_1 = 1$, $a_2 = \frac{3}{7}$ y$$a_n=\frac{a_{n-2}\cdot a_{n-1}}{2a_{n-2}-a_{n-1}}$$para todo $n \geq 3$. El número $a_{2019}$ puede escribirse de la forma $\frac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuál es el valor de $p+q$

La secuencia $a_0,a_1,a_2,\dots$ satisface$$a_{m+n}+a_{m-n}=\frac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n})$$para cualesquiera enteros no negativos $m$ y $n$ con $m\ge n$. Si $a_1=1$ determina $a_n$.

Se define una función sobre los enteros positivos de manera recursiva por $f(1) = 2$, $f(n) = f(n-1) + 1$ si $n$ es par, y $f(n) = f(n-2) + 2$ si $n$ es impar y mayor que $1$. ¿Cuál es el valor de $f(2017)$

Se define una secuencia recursiva por $t_1 = 20$, $t_2 = 21$, y $$t_n=\frac{5t_{n-1}+1}{25t_{n-2}}$$para todo $n \ge 3$. El número $t_{2020}$ puede expresarse de la forma $\frac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos relativos entre sí. Encuentra $p+q$.

¿Cuántas secuencias de $0$'s y $1$'s de longitud $19$ hay que comienzan con un $0$, terminan con un $0$, no contienen dos $0$s consecutivos y no contienen tres $1$s consecutivos?

Para cada número entero positivo $n$, sea $S(n)$ el número de secuencias de longitud $n$ que consisten únicamente de las letras $A$ y $B$, sin más de tres $A$'s consecutivas y sin más de tres $B$'s consecutivas. ¿Cuál es el residuo cuando $S(2015)$ se divide por $12$?

Considera secuencias que consisten enteramente de letras $A$ y $B$ y que tienen la propiedad de que cada secuencia consecutiva de $A$'s tiene longitud par, y cada secuencia consecutiva de $B$'s tiene longitud impar. Ejemplos de tales secuencias son $AA$, $B$ y $AABAA$, mientras que $BBAB$ no es una secuencia de este tipo. ¿Cuántas de estas secuencias tienen una longitud de 14?

Denominemos a un conjunto de enteros 'espacioso' si no contiene más de uno de cada tres enteros consecutivos. ¿Cuántos subconjuntos de $\{1,2,3,\ldots,12\}$, incluido el conjunto vacío, son espaciosos?

Para cada número entero positivo par $x$, sea $g(x)$ la mayor potencia de 2 que divide a $x.$ Por ejemplo, $g(20)=4$ y $g(16)=16.$ Para cada número entero positivo $n,$ sea $S_n=\sum_{k=1}^{2^{n-1}}g(2k).$ Encuentra el mayor entero $n$ menor que 1000 tal que $S_n$ sea un cuadrado perfecto.