Un cartero entrega correo a las diecinueve casas en el lado este de Elm Street. El cartero nota que nunca dos casas adyacentes reciben correo el mismo día, pero que nunca hay más de dos casas en fila que no reciben correo el mismo día. ¿Cuántos patrones diferentes de entrega de correo son posibles?

Una colección de 8 cubos consiste en un cubo con longitud de arista $k$ para cada número entero $k, 1 \le k \le 8.$ Se construirá una torre utilizando los 8 cubos según las siguientes reglas: 1.- Cualquier cubo puede ser el cubo inferior en la torre. 2.- El cubo inmediatamente encima de un cubo con longitud de arista $k$ debe tener una longitud de arista como máximo de $k+2.$ Sea $T$ el número de torres diferentes que se pueden construir.¿Cuál es el residuo cuando $T$ se divide por 1000?

Determina el residuo cuando $9 \times 99 \times 999 \times \cdots \times \underbrace{99\cdots9}_{\text{999 9's}}$ es divisible por $1000$.

¿Cuántos enteros positivos de tres dígitos $N$ satisfacen las siguientes propiedades? 1.- El número $N$ es divisible por $7$. 2.- El número formado al invertir los dígitos de $N$ es divisible por $5$.

Definimos $L_n$ como el mínimo común múltiplo de todos los enteros desde $1$ hasta $n$ inclusive. Existe un único entero $h$ tal que$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{17}=\frac{h}{L_{17}}$$¿Cuál es el residuo cuando $h$ es dividido por 17?

La representación en base nueve del número $N$ es $27{,}006{,}000{,}052_{9}$. ¿Cuál es el residuo de $N$ cuando es dividido por 5?

Sea $p$ un número primo. Pruebe que $(p-1)!\equiv-1\pmod p$.

Sea $a$ un entero tal que$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!}$$ Determina el residuo cuando $a$ es dividido por 13.

Sea $a$ un entero impar. Pruebe que $a^{2^n}+2^{2^n}$ y $a^{2^m}+2^{2^m}$ son primos relativos para cualesquiera enteros positivos $m,n$ con $n\neq m$.