Sean $a$ y $b$ enteros positivos, y sean $A$ y $B$ conjuntos finitos disjuntos de enteros, tales que si $i \in A \cup B$, entonces $i + a \in A$ o $i - b \in B$. Demuestra que $a|A| = b|B|$.

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen las siguientes condiciones: • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $f^n(n) = n$. • Para todo $m, n \in \mathbb{N}$, $|f(mn) - f(m)f(n)| < 2017$.

Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros. Demuestra que no existe una función $T : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tal que la cantidad de enteros $x$ con $T^n(x) = x$ sea igual a $P(n)$ para todo entero positivo $n$.

Sea $g(x) = (|x| + |x - 1| - 1)/2$. Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que \[f^{\left(g(f(x) - x)\right)}(x) = x, \quad \forall x\in \mathbb{N}.\]

(ISL 2017) Sea $S$ un conjunto finito, y $f : S \rightarrow S$. Supongamos que $f \circ g \circ f \neq g \circ f \circ g$ para toda función $g : S \rightarrow S$ con $g \neq f$. Demuestra que $f(f(S)) = f(S)$.

Una función $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ satisface \[f^{f(n)}(n) = \frac{n^2}{ f(f(n))}\] Encuentra todos los valores posibles de $f(1000)$.

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ tales que, para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$,\n\[f^{f(n)}(m) + mn = f(m)f(n).\]

Sea $S = \{1, 2, 3, \ldots, 2021\}$ y $f : S \rightarrow S$ una función tal que $f^n(n) = n$ para cada $n \in S$. Encuentra todos los posibles valores para $f(2021)$.

Sea $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una funcion biyectiva. ¿Siempre existe un conjunto infinito de funciones $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(g(x)) = g(f(x))$ para todo $x \in \mathbb{R}$?