Cangu salta sobre la recta numerica siguiendo siempre la misma rutina: da dos saltos de longitud $3$ seguidos de tres saltos de longitud $1$. Comienza en $0$ y repite su rutina una y otra vez, hasta pasarse de $100$ ¿Sobre cual de los siguientes numeros pisara Cangu?

En una cuadricula de $m×n$ con $m, n \geq 3$, el numero de cuadritos que tienen exactamente $3$ cuadritos vecinos es igual al numero de cuadritos que tienen exactamente $4$ cuadritos vecinos. ¿Cuantos cuadritos tiene la cuadricula?

Encuentra todas las parejas de enteros $(c, d)$, ambos mayores que $1$, tales que: Para todo primo $p > c(2c+1)$ y cualquier polinomio mónico $Q$ de grado $d$ con coeficientes enteros, existe un conjunto $S \subseteq \mathbb{Z}$ que cumple: - $|S| \leq \frac{2c - 1}{2c + 1} p$, $$- \bigcup_{s\in S} \{s, Q(s), Q(Q(s)),\ldots\} \equiv \{0, 1, \ldots, p - 1\} \pmod{p}$$

Sea $f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$. Supongamos que: - Si $m, n \in \mathbb{Z}^+$, entonces $\frac{f^n(m) - m}{n} \in \mathbb{Z}^+$, y - el conjunto $\mathbb{Z}^+ \setminus \{f(n) \mid n \in \mathbb{Z}^+\}$ es finito. Demuestra que la secuencia $f(1) - 1, f(2) - 2, f(3) - 3, \ldots$ es periódica.

Las filas y columnas de un tablero de $2^n \times 2^n$ están numeradas de $0$ a $2^n - 1$. Las casillas del tablero han sido coloreadas de tal manera que se cumple la siguiente propiedad: para todo $0 \leq i, j \leq 2^n - 1$, la celda en la fila $i$ y la columna $j$ tiene el mismo color que la celda en la fila $j$ y la columna $i + j \pmod{2^n}$. Demuestra que el número máximo posible de colores es $2^n$.

Sea $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ una funcion. Supongamos que para todo $n \in \mathbb{N}$ existe una $k \in \mathbb{N}$ tal que $f^{2k}(n) = n + k$, y sea $k_n$ el mínimo valor de $k$ para el cual esto ocurre. Demuestra que la secuencia $k_1, k_2, \ldots$ no es acotada.

Encuentra todos los enteros $n \geq 2$ para los cuales existe un entero $m$ y un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros que cumple las siguientes tres condiciones: - $m > 1$ y $\text{gcd}(m, n) = 1$, - los números $P(0)$, $P^2(0)$, $\ldots$, $P^{m-1}(0)$ no son divisibles por $n$, - $P^m(0)$ es divisible por $n$.

Sea $f : X \to X$, donde $X = \{1, 2, \ldots, 100\}$, una función que cumple: - $f(x) \neq x$ para todo $x \in X$, - para cualquier $A \subset X$ con $|A| = 40$, se tiene $A \cap f(A) \neq \emptyset$. Encuentra el minimo $k$ tal que para cualquier funcion $f$ que cumpla las condiciones, existe $B\subset X$ con $|B|=k$ tal que $B\cup f(B)=X$.

Sea $n > 1$ un entero y sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ enteros tales que $n \mid a_i - i$ para todos los enteros $1 \leq i \leq n$. Demuestra que existe una secuencia infinita $b_1, b_2, \ldots$ tal que - $b_k \in \{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$ para todos los enteros positivos $k$, - $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{b_k}{n^k}$ es un entero.