Demuestra que puedes elegir 15 numeros distintos entre $1$ y $2023$ de manera que al tomar cualesquiera de ellos (puede ser solo uno) la suma no es ninguna potencia de un entero.

Sea $x>1$ un numero real que no es entero. Sea $\{x\}$ su parte fraccionaria y $\lfloor x\rfloor$ el piso de $x$. Demuestra que $$\left( \frac{x+\{x\}}{\lfloor x\rfloor} - \frac{\lfloor x \rfloor}{x+\{x\}}\right)+\left( \frac{x+\lfloor x\rfloor}{\{x\}}-\frac{\{x\}}{x+\lfloor x\rfloor}\right)>\frac{16}{3}$$

Hay $n$ cuyos en un circulo. Cada cuyo tiene una direccion asignada, direccion de las manecillas del reloj o en contra. Ademas consideramos los cuyos en orden de manera que el primero se mueve con velocidad de $1$ metro por hora, el segundo $2$ metros por hora, ..., el $n$-esimo $n$ metros por hora. Ademas cada cuyo tiene un contador que inicia en $0$. Todos los cuyos empiezan a moverse al mismo tiempo. Cuando dos cuyos se encuentran en un mismo punto, el mas veloz aumenta su contador en uno y el otro cuyo ahora se mueve en la misma direccion. Si mas de dos se encuentran al mismo tiempo esto se hace para cada par de cuyos, de manera que al final todos van en la direccion del cuyo mas rapido. Demuestra que hay un momento donde sucede que para cada cuyo si este es el $i$-esimo cuyo entonces su contador esta en $i-1$.

Para cada entero positivo $n$ tomamos el mayor divisor $d_n$ de $n$ tal que $d_n\leq \sqrt{n}$ y definimos $a_n=\frac{n}{d_n}-d_n$. Demuestra que en la sucesion $a_1,a_2,\ldots$ todo entero no negativo aparece infinitas veces.

Sea $P$ un polinomio con coeficientes enteros de grado mayor o igual a $4$. Un entero $n$ se dice $P$-representable si existen enteros $a,b$ tal que $n=P(a)-P(b)$. Demuestra que si para todo $N\geq 0$ mas de la mitad de los enteros $\{0,1,2,\cdots, N\}$ son $P$-representables entonces todos los numeros pares o todos los impares son $P$-representables.

Una secuencia de puntos $P_1,\ldots, P_n$ en el plano (no necesariamente distintos) es carioca si existe una permutacion $a_1,\ldots, a_n$ de los numeros $1,\ldots, n$ tal que los segmentos $$P_{a_1}P_{a_2}, P_{a_2}P_{a_3},\ldots, P_{a_n}P_{a_1}$$ tienen todos la misma longitud. Determina el mayor numero $k$ tal que para toda secuencia de $k$ puntos en el plano, se pueden agregar $2023-k$ puntos de manera que la secuencia de $2023$ puntos es carioca.

Sean $B$ y $C$ dos puntos en el plano. Para cada punto $A$ en el plano que no este en la linea $BC$, consideramos $G$ el gravicentro del triangulo $ABC$. Determina el lugar geometrico de los puntos $A$ tales que $\angle BAC+\angle BGC=180^\circ$

Ana y Beto juegan con una balanza de dos platillos. Tienen $2023$ pesas numeradas con sus pesos, $1, 2, \ldots, 2023$. Cada jugador, por turnos, escoge una pesa que no se haya colocado aun en uno de los platillos de la balanza y lo coloca en el platillo con el menor peso, en caso que pesen igual lo puede colocar en el que sea. Ana empieza el juego y se termina cuando colocan todas las pesas. Ana gana si al final la balanza esta balanceada, si no gana Beto. Determina quien tiene estrategia ganadora y su estrategia.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ tales que para todo entero $n$ tenemos $$2023 f(f(n))+2022n^2=2022f(n)+2023f(n)^2+1.$$

Sea $n$ un entero positivo. Se consideran los siguientes $35$ numeros:\n$$n, 2n, 3n, \ldots, 35n$$ Demuestra que al menos uno de estos numeros tiene un $7$ como digito.